[Ronsen]

Servus.

Ich soll für folgende Matrix A Bildraum und Nullraum des orthogonalen Komplements A' (so nenne ich es mal, weil ich keine tastenkombo für das umgedrehte T kenne) bestimmen.

1 1 4 2
2 -1 1 0
-1 3 2 0
0 1 3 2

ich habe zuvor schon richtig Bild und Nullraum der Matrix bestimmt.
N(A) = span(1, 1, -1, 1)T
R(A) = span(dreier beliebiger Vektoren aus A)

Für die Bestimmung des Bildraums von A' habe ich die ersten drei Vektoren von A genommen und ein lineares Gleichungssystem nach 0 aufgestellt. Die Vektorparameter habe ich a, b, c und d genannt.
a + 2b - c = 0
a - b + 3c + d = 0
4a + b + 2c + 3d = 0

Ich habe a = 5 gesetzt und das lineare GS mit Taschenrechner gelöst. Demnach kommen natürlich Vielfache von a heraus. Das Bild lautet dann:
R(A') = span{(5, -3, -1, -5)T}, was ebenfalls richtig ist. Nur bei dem Nullraum hänge ich jetzt fest oder besser gesagt darin, das gesamte orthogonale Komplement zu bestimmen. Laut Musterlösung besitzt der Nullraum drei Vektoren. Gemeinsam mit dem Bild müsste mein orthogonales Komplement A' also doch eigentlich vier Vektoren besitzen, oder? Wie kann ich die restlichen drei, die nicht das Bild von A' sind, bestimmen? Damit könnte ich ja dann via Gauß-Algorithmus auch den Nullraum finden.

Edit: ODER:
Das orthogonale Komplement besteht nur aus dem einen Vektor, der auch den Bildraum aufspannt. So habe ich es eigentlich derzeit heraus. Nur weiß ich nicht, wie ich jetzt aus dem einen Vektor noch auf die drei Vektoren aus dem Nullraum komme.

Danke für eure Hilfe.

[ojas]

Ich soll für folgende Matrix A Bildraum und Nullraum des orthogonalen Komplements A' (so nenne ich es mal, weil ich keine tastenkombo für das umgedrehte T kenne) bestimmen.

Wie ist denn das orthogonale Komplement A^⊥ einer Matrix A definiert? Ich dachte, das orthogonale Komplement ist nur für Vektorräume mit Sesquilinearform definiert.

[Ronsen]

Wie ist denn das orthogonale Komplement A^⊥ einer Matrix A definiert? Ich dachte, das orthogonale Komplement ist nur für Vektorräume mit Sesquilinearform definiert.

Das orthogonale Komplement ist eine Menge der Vektoren, die zu allen Vektoren einer Menge A senkrecht sind.
Da wir hier vier linear abhängige Vektoren haben und der Nullraum mit einem Vektor besetzt ist, schätze ich, dass das orthogonale Komplement nur einen Vektor enthält und das ist der aus dem Rang.
Was eine Sesquilinearform ist, weiß ich nicht^^

[ojas]

Das orthogonale Komplement ist eine Menge der Vektoren, die zu allen Vektoren einer Menge A senkrecht sind.

Das habe ich schon herausgefunden. Aber, wie du selbst sagst, gibt es nicht das orthogonale Komplement sondern lediglich das orthogonale Komplement einer Menge A. Ich weiß nicht von welcher Menge A du oben das orthogonale Komplement ausrechnen möchtest.

Was eine Sesquilinearform ist, weiß ich nicht^^

Verallgemeinertes Skalaprodukt. Wird wichtig wenn man Vektorräume über ℂ betrachtet. Es erlaubt dann, dort Winkel und Orthogonalität zu definieren.

Genausogut kann man das Skalarprodukt als einen Spezialfall der Sesquilinearform auffassen. Bei ℝ-Vektorräumen macht das keinen Unterschied.

[Zhanior]

Das orthogonale Komplement ist eine Menge der Vektoren, die zu allen Vektoren einer Menge A senkrecht sind.

Du hast oben aber vom orthogonalen Komplement einer Matrix gesprochen; eine Matrix ist aber keine Menge von Vektoren und Matrizen und Mengen von Vektoren lassen sich auch nicht bijektiv miteinander identifizieren.

Wie ojas kenne auch ich nur die Definition des orthogonalen Komplements für Untervektorräume eines Vektorraums mit symmetrischer Bilinearform bzw. hermitescher Sesquilinearform; falls dies für Deine Zwecke zu allgemein ist, denke für Letzteres einfach an das Standardskalarprodukt.

Ich gehe im Folgenden davon aus, dass Du das orthogonale Komplements des Bilds und des Nullraums von A berechnen sollst.

Da wir hier vier linear abhängige Vektoren haben und der Nullraum mit einem Vektor besetzt ist, schätze ich, dass das orthogonale Komplement nur einen Vektor enthält und das ist der aus dem Rang.
Was eine Sesquilinearform ist, weiß ich nicht^^

Die Räume enthalten viel mehr Vektoren. Richtig ist, dass der Nullraum von genau einem Vektor erzeugt wird (falls Du das richtig berechnet hast).

Es gilt allgemein für endlich-dimensionale Vektorräume, dass die "direkte Summe" eines Untervektorraums mit seinem orthogonalen Komplement der ganze Vektorraum, in Deinem Fall der R^4 (R sollen die reellen Zahlen sein), ist; es handelt sich dann sogar um eine "orthogonale Summe". Wichtig für Dich ist, dass das insbesondere bedeutet, dass die Dimensionen eines Untervektorraums und seines orthogonalen Komplements sich zur Dimension des gesamten Vektorraums, hier 4, addieren.
Für den Nullraum der Matrix A hast Du beispielsweise eine Basis aus genau einem Vektor gefunden - der Nullraum von A hat also Dimension 1. Da Du Dich im R^4 (vermutlich mit dem Standardskalarprodukt) befindest, also einem R-Vektorraum der Dimension 4, muss das orthogonale Komplement des Nullraums Dimension 4-1=3 haben, d.h. jede Basis des orthogonalen Komplements des Nullraums besteht aus 3 Vektoren.

[Ronsen]

Okay, okay, alles schön und gut^^
Zum Glück muss man in Mathe nix erklären, sondern einfach nur seine Zeichen setzen und rechnen. Wie da was genannt wird und zusammenhängt, da hab ich meine Probleme, das weiß ich.

In der Aufgabe steht nur, nachdem man die Matrix gegeben hat und sagt:
Eine Abbildung f: R^4 => R^4 mir f: x => Ax wird beschrieben durch die Matrix A (siehe oben).
Bestimme N(A)' und R(A)'

Dass der Nullraum drei Vektoren enthalten muss, hab ich jetzt verstanden. Aber wie errechne ich die nun?

Edit: Jetzt hab ich kapiert, wie ihr das meintet. Alarm zurück, Lösung ist da, danke!

[Ronsen]

Kann mir vielleicht noch einer sagen, was für Voraussetzungen bestehen, damit eine Abbildung surjektiv bzw. injektiv genannt werden kann? Was die Begriffe an sich beschreiben, versteh ich schon, nur hat man uns das anhand von Bild und Nullraum gezeigt. Ich hab es jetzt so, dass:

injektiv: der Defekt des Nullraums ist Null.
surjektiv: das Bild enthält alle Vektoren der Matrix. (ich weiß, das ist garantiert falsch beschrieben. Ich meine einfach, für eine 3x3 Matrix enthält das Bild die drei Spaltenvektoren und natürlich all ihre Vielfachen).

Vor allem bei letzterem bin ich unsicher, ob ich es so richtig verstanden habe. Denn für mich klingt das jetzt, als wäre jede injektive Abbildung gleichzeitig surjektiv.

[Zhanior]

[...]
injektiv: der Defekt des Nullraums ist Null.

Du meinst wohl das richtige. Allerdings müsste es korrekt heißen "Eine lineare Abbildung ist injektiv genau dann, wenn ihr Nullraum Dimension 0 hat." bzw. "Eine lineare Abbildung ist injektiv genau dann, wenn ihr Defekt 0 ist.", denn der Defekt einer linearen Abbildung ist definiert als die Dimension ihres Nullraums ("Defekt des Nullraums" macht also keinen Sinn).

Beachte hierzu, dass diese Aussage nur für lineare Abbildungen (und andere Homomorphismen, aber das ist für Dich vermutlich nicht wichtig) gilt und nicht für beliebige Abbildungen. Außerdem sollte Dir klar sein, dass es sich um eine Äquivalenz handelt, d.h. aus einem Defekt von 0 folgt die Injektivität und umgekehrt.

surjektiv: das Bild enthält alle Vektoren der Matrix. (ich weiß, das ist garantiert falsch beschrieben. Ich meine einfach, für eine 3x3 Matrix enthält das Bild die drei Spaltenvektoren und natürlich all ihre Vielfachen).

Vor allem bei letzterem bin ich unsicher, ob ich es so richtig verstanden habe. Denn für mich klingt das jetzt, als wäre jede injektive Abbildung gleichzeitig surjektiv.

Du hast schon richtig erkannt, dass da etwas nicht stimmen kann.
Nach Definition heißt eine (beliebige) Abbildung f: A->B (d.h. mit Definitionsmenge A und der Zielmenge B) surjektiv genau dann, wenn das Bild von f (oft geschrieben als Im(f) oder Bild(f)) ganz B ist; das Bild von f ist dabei die Menge aller Elemente aus B, die von f auch tatsächlich "getroffen werden", formal: Im(f) = {f(a)| a aus A}.
Diese Eigenschaft folgt für lineare Abbildungen nicht aus dem, was Du formuliert hast (Deine Aussage gilt für jede Matrix), wie man zum Beispiel an der Matrix aus dem Eingangspost erkennt.

Für lineare Abbildungen f: V->W (wobei V und W Vektorräume über einem Körper K seien) ist aber Folgendes richtig: Wenn der Bildvektorraum W endlich-dimensional ist und dim(W) = dim(Bild(f)) gilt, dann ist f surjektiv.
Es gibt auch noch eine Charakterisierung über den sog. Kokern, aber das dürfte für Dich nicht relevant sein.

Wie Du vielleicht gemerkt hast, folgt aus dem oben geschriebenen bzw. der Dimensionsformel für lineare Abbildungen insbesondere Folgendes: Wenn f: V->W linear mit dim(V)=dim(W) und V, W endlich-dimensional, dann gilt: f injektiv <=> f surjektiv <=> f bijektiv.
Insbesondere sind also für eine quadratische (endliche) Matrix Surjektivität, Injektivität und Bijektivität äquivalent.

[Ronsen]

Also kann man quasi auch sagen, im übertragenen Sinne:

Wenn ich eine lineare Abbildung habe und die Injektivität nachgewiesen ist (was bei mir einigermaßen angekommen ist), muss auch Surjektivität vorliegen, richtig?
Und mit deinem Satz dim(W) = dim(Bild(f)) für Surjektivität kann ich das auch so begründen, auch wenn ich es selbst kaum in Worte fassen kann xD
Danke!

[Vilya]

Also kann man quasi auch sagen, im übertragenen Sinne:

Wenn ich eine lineare Abbildung habe und die Injektivität nachgewiesen ist (was bei mir einigermaßen angekommen ist), muss auch Surjektivität vorliegen, richtig?

Jain. Wie Zhanior geschrieben hat, müssen dazu die Dimensionen der beiden (endlichen)
Vektorräume gleich sein.

Mit anderen Worten: Deine Aussage ist nur dann richtig, falls die lineare Abbildung durch eine
quadratische Matrix beschrieben wird.

[Ronsen]

Jain. Wie Zhanior geschrieben hat, müssen dazu die Dimensionen der beiden (endlichen)
Vektorräume gleich sein.

Mit anderen Worten: Deine Aussage ist nur dann richtig, falls die lineare Abbildung durch eine
quadratische Matrix beschrieben wird.

Okay, ja, davon gehe ich aus. Wir behandeln in der Regel bei linearen Abbildungen nur quadratische Matrizen^^
Danke.