[Ronsen]

Grüßt euch, ich brauch mal wieder bisschen Hilfe beim Verständnis, diesmal Physik...

"Ein schwingender Körper hat die Geschwindigkeit vx(t) = vm*cos (2π*t/T). Er befindet sich zur Zeit t0 = T/4 am Ort x0. Geben Sie den Ort x und die Beschleunigung ax des Körpers als Funktion der Zeit t an!"

Ort = Integration über die Zeit
Beschleunigung = Ableitung über die Zeit

ax(t) = vm*2π/T*(-sin(2π * t/T))

__________t__________________________________t
x(t) - x0 = ∫ vm cos (2πt/T) dt = 2vmπ/T * sin(2πt/T) I
_________t0__________________________________t0

x(t) = 2vmπ/T *((sin(2πt/T - 1) + x0

Das müsste eigentlich stimmen, die Lösung hat uns unser Prof so gegeben. Mir geht's auch einfach um die Logik dahinter^^
Warum muss man beim Ort den Ort x0 aufaddieren, bei der Beschleunigung aber nichts weiter beachten?
Wieso ist π/2T = 1? (das "π" soll übrigens ein pi sein)

Wahrscheinlich kommen dann später oder morgen noch mehr Aufgaben, da ich mich derzeit mit diesem Themenblock herumschlage. Danke im Voraus.

[Schmunzel]

Rein mathematisch gesehn ist das so, dass du beim Ableiten "Information" verlierst. Die Ableitung von 3x-3 ist diesselbe wie 3x-5 oder 3x+2, nämlich 3. Integriest du die 3 bekommst du dafür 3x+C heraus. Das C berechnest du, indem du den Anfangspunkt der Integration bestimmst.

In deinem Fall wäre der Anfangspunkt zur Zeit t0, also x(t0)=x0.

Oder um es an einem anschaulichen Beispiel fest zu machen:
Ich hab zwei Körper, die sich bewegen und mit folgender Gleicung beschrieben werden kann:

1) v=5t-4
2) v=5t+3

Wie man leicht erkennen kann besitzen beide diesselbe Beschleunigung (a=5), allerdings besitzen sie zu jeder Zeit eine unterschiedliche Geschwindigkeit, was sich auf den zurückgelegten Weg auswirkt. Als Beispiel nehmen wir die Zeit t0=0. Zu dieser Zeit legt der Körper 1 einen negativen Weg mit der Geschwindigkeit v=-4 zurück und der Körper zwei einen positiven Weg mit der Geschwindigkeit v=3. Dies muss man in jedem Fall bei der Integration beachten, da man durch das Integrieren ja den Gesamtweg berechnen will. Es ist daher wichtig zu wissen zu welcher Zeit du beginnst zu messen und zu welcher Zeit du aufhörst.

[Zephir]

Also so richtig richtig sieht die Integration für mich nicht aus. Meiner Ansicht nach müsste da
x(t) - x0 = T*vm/(2pi) *sin(2pi*t'/T) (von t0 bis t) = A*sin(2pi*t/T) - A*sin(2pi*t0/T)
(mit A = T*vm/(2pi))
herauskommen.
Da t0 = T/4 wird aus dem hinteren Term A*sin(2pi/4) = A.

Also:
x(t) - x0 = A*sin(2pi*t/T) - A = A*[sin(2pi*t/T) - 1]

[Ronsen]

Stimmt, das Rest-c, darauf hätte selbst ich kommen können...

Ich habe hier noch eine Aufgabe, bei der mir irgendwie Informationen fehlen...

"Eine Stahlkugel springt auf einer elastischen Platte auf und ab. Die Aufschläge haben einen zeitlichen Abstand 0,4s. Welche Maximalhöhe zm erreicht die Kugel?"

Ich wäre mit der Formel
x = r*sin(wt) herangegangen und hätte dann noch w durch 2π/T ersetzt. Fehlen mir aber nach wie vor zwei Größen, t und r (vorausgesetzt, die 0,4s entsprechen T). Man kann sicher die Fallbeschleunigung noch irgendwie ins Spiel bringen, ich bin da aber echt überfragt.

(Edit: Zephir hat natürlich bei der Integration recht, ich hatte mich wohl verschrieben, wie so oft.)

[Schmunzel]

Stimmt, das Rest-c, darauf hätte selbst ich kommen können...

Ich habe hier noch eine Aufgabe, bei der mir irgendwie Informationen fehlen...

"Eine Stahlkugel springt auf einer elastischen Platte auf und ab. Die Aufschläge haben einen zeitlichen Abstand 0,4s. Welche Maximalhöhe zm erreicht die Kugel?"

Ich wäre mit der Formel
x = r*sin(wt) herangegangen und hätte dann noch w durch 2π/T ersetzt. Fehlen mir aber nach wie vor zwei Größen, t und r (vorausgesetzt, die 0,4s entsprechen T). Man kann sicher die Fallbeschleunigung noch irgendwie ins Spiel bringen, ich bin da aber echt überfragt.

wenn die aufschläge 0,4s abstand haben dann braucht die Kugel zum Fall 0,2s. Nun gibt es wie du sagst die fallbeschleunigung a=-g. Das einfach 2mal nach der Zeit integrieren und für die Zeit 0,2s einsetzen. Damit hättest du dann den Fallweg berechnet, der vom betrag her gleich der Steighöhe ist.

@Zephir: das einzigste, was ich als falsch an der Integration erkennen kann ist, dass es vmT/(2π) * sin(2πt/T-1) sind und nicht 2vmπ/T * sin(2πt/T-1)

[Ronsen]

wenn die aufschläge 0,4s abstand haben dann braucht die Kugel zum Fall 0,2s. Nun gibt es wie du sagst die fallbeschleunigung a=-g. Das einfach 2mal nach der Zeit integrieren und für die Zeit 0,2s einsetzen. Damit hättest du dann den Fallweg berechnet, der vom betrag her gleich der Steighöhe ist.

Ach herrje...

t = 2s
T = 4s
a = -9,81m/s²

Und jetzt Integral(a) von 0 bis 0,2, zweimal? Versteh ich nicht, ich würde durch 0 teilen. Scheiße, ja, mir fehlt es an Grundlagenverständnis, brauchst du mir nicht sagen, ich war bislang von irgendwelchen Integrationen in Physik verschont worden.

@Zephir: das einzigste, was ich als falsch an der Integration erkennen kann ist, dass es vmT/(2π) * sin(2πt/T-1) sind und nicht 2vmπ/T * sin(2πt/T-1)

Ja so stehts in meinen Aufzeichnungen...

[Schmunzel]

Ach herrje...

t = 2s
T = 4s
a = -9,81m/s²

Und jetzt Integral(a) von 0 bis 0,2, zweimal? Versteh ich nicht, ich würde durch 0 teilen. Scheiße, ja, mir fehlt es an Grundlagenverständnis, brauchst du mir nicht sagen, ich war bislang von irgendwelchen Integrationen in Physik verschont worden.



Ja so stehts in meinen Aufzeichnungen...

Ich in Physik auch. hatte nach der 10. kein Physik mehr gehabt, wohl aber mathe Lk.
a einmal integriert ergibt v. a zweimal integriert bzw. v einmal integriert ergibt x. x ist deine Strecke.

a= -g
v= -gt + v0
x= -gt²/2 + v0t + x0

Im höchsten Punkt besitzt die Stahlkugel eine Geschwindigkeit von v0=0 und beschleunigt dann nach unten. x0 definieren wir als 0 da wir nur den Betrag der Höhe wissen wollen. Übrig bleibt:

x= -gt²/2

für das t wird t=0,2s eingesetzt
et voilà

[Ronsen]

Ich in Physik auch. hatte nach der 10. kein Physik mehr gehabt, wohl aber mathe Lk.
a einmal integriert ergibt v. a zweimal integriert bzw. v einmal integriert ergibt x. x ist deine Strecke.

a= -g
v= -gt + v0
x= -gt²/2 + v0t + x0

Im höchsten Punkt besitzt die Stahlkugel eine Geschwindigkeit von v0=0 und beschleunigt dann nach unten. x0 definieren wir als 0 da wir nur den Betrag der Höhe wissen wollen. Übrig bleibt:

x= -gt²/2

für das t wird t=0,2s eingesetzt
et voilà

Glaub mir, das eine Jahr Physik mehr hat mir nicht geholfen. Ich war gerade ziemlich blöd, was Integration anging, wollte da das a durch v/t ersetzen und t in den Grenzen einsetzen, frag nicht. Deswegen war das recht sinnlos geworden. Auf die Idee, ein t anzuhängen, bin ich gar nicht gekommen. Das ist natürlich dann mehr als schlau, man muss es nur mal beispielhaft erklärt bekommen^^
Jetzt kommt dummerweise ein negativer Wert heraus, gehe ich richtig in der Annahme, dass der Betrag zählt? Also 0,1962m...

[Schmunzel]

Jetzt kommt dummerweise ein negativer Wert heraus, gehe ich richtig in der Annahme, dass der Betrag zählt? Also 0,1962m...

Jop.
Das ist praktisch der Wert, der zurückgelegt wurde, wenn wir davon ausgehen, dass man von unten nach oben eine positive Strecke und von oben nach unten eine negative Strecke zurücklegt. Der Betrag ist aber das wichtige, da der uns praktisch die Differenz von "oben" und "unten" angibt.

[Ronsen]

Ich versteh nicht, warum das unter der Überschrift Schwingungen läuft, aber...
kannst du mir das nochmal überprüfen.

"Auf eine Straßenbahn, die mit der Geschwindigkeit 20 km/h fährt, wirke eine zeitabhängige Beschleunigung a(t) = a0 + b*t (a0 = 0,3 m/s²; b = 0,25 m/s³). Nach welcher Zeit hat sich die Geschwindigkeit verdoppelt, und welcher Weg wurde dabei zurückgelegt?"

v2 = 40km/h = 11,11m/s;
v = a*t;
t = v/(a0+bt);
bt²+a0t - v = 0
t²+1,2t - 4v = 0
p-q-Formel
t = 6,09s
v=s/t
s=v*t = 67,7m

[Schmunzel]

du musst immer von der Beschleunigung ausgehen integrieren um auf die Geschwindigkeit-Zeit und Weg-Zeit Funktion zu kommen.

also:

a(t)= bt + a0
v(t)= bt²/2 + a0t + v0
s(t)= bt³/6 + a0t²/2 + v0t + x0

v0=20km/h (bzw. 5,555m/s , damit man nacher nicht ins Sekunden umrechnen muss ) einsetzen und nach t umstellen. Das ausgerechnete t in s(t) einsetzen und den Weg berechnen.

mom, ich überprüf mal dein ergebnis.
v=at kommt schonmal nicht hin, womit der rest in einen Folgefehler resultiert^^

[Ronsen]

Ich habe jetzt für t = 5,57s und für s = 42,8m ausgerechnet. Kommst du da auch drauf?

Edit:

4. Ein Schienenfahrzeug fährt mit konstanter Geschwindigkeit v0 = 120 km/h. Nach Abschalten des Triebwerkes zur Zeit t0 = 0 wird das Fahrzeug im Wesentlichen durch den Luftwiderstand gebremst; die Beschleunigung ist a = - Kv² ; K = 3,75*10^-4 m^-1. Nach welcher Zeit t1 ist die Geschwindigkeit auf v1 = 60 km/h abgesunken? Welche Strecke s1 wurde in der Zeit t1 zurückgelegt?

a(t) = -Kv²
v(t) = - Kv²t + v0
s(t) = -Kv²t²/2 + v0t + x0
=> t1 = 2666,66s
=> IsI = 622218,89m

Kann das stimmen? oO Mich wundert am meisten, dass ich einen negativen Weg herausbekomme, darum hab ich den Betrag genommen...

[Schmunzel]

Ich habe jetzt für t = 5,57s und für s = 42,8m ausgerechnet. Kommst du da auch drauf?

Edit:

4. Ein Schienenfahrzeug fährt mit konstanter Geschwindigkeit v0 = 120 km/h. Nach Abschalten des Triebwerkes zur Zeit t0 = 0 wird das Fahrzeug im Wesentlichen durch den Luftwiderstand gebremst; die Beschleunigung ist a = - Kv² ; K = 3,75*10^-4 m^-1. Nach welcher Zeit t1 ist die Geschwindigkeit auf v1 = 60 km/h abgesunken? Welche Strecke s1 wurde in der Zeit t1 zurückgelegt?

a(t) = -Kv²
v(t) = - Kv²t + v0
s(t) = -Kv²t²/2 + v0t + x0
=> t1 = 2666,66s
=> IsI = 622218,89m

Kann das stimmen? oO Mich wundert am meisten, dass ich einen negativen Weg herausbekomme, darum hab ich den Betrag genommen...

erstes Ergebnis stimmt. Zweites Ergebnis ist allerdings falsch. Die Schwierigkeit in der Aufgabe besteht darin, dass es eine Rückkopplung von Geschwindigkeit zur Beschleunigung gibt. Je langsamer dein Zug fährt, desto geringer wird die Beschleunigung. Du kannst hier also nicht einfach nach der Zeit integrieren, um auf die Geschwindigkeit zu kommen. Du müsstest vielmehr eine andere Gleichung aufstellen und integrieren. Dabei hilft dir eine Formel, die für jegliche Bewegung gilt:

a=dv/dt (Momentangeschwindigkeit/benötigte Zeit)

Da a(t) = -Kv² gilt setzt du für a(t) einfach dv/dt ein und hättest:

-Kv²=dv/dt

Das stellst du nun derart um, sodass du auf der einen Seite nach der Zeit und auf der anderen Seite gleichzeitig nach der Zeit Geschwindigkeit integrieren kannst, denn bis jetzt hast du mit dt nur die benötigte Zeit und dv die Momentangeschwindigkeit.

v²/dv = -Kdt

Auf der linken Seite wird nun nach der Geschwindigkeit von v0 bis v integriert und auf der rechten Setie nach der Zeit von t0 bis t. Es kommt raus:

∫(1/v²)dv = -K ∫1dt (die 1 steht nur zum verdeutlich. es könnte ebenso -K ∫dt dastehn)

Achtung, ich hab hier der Übersicht wegen die Seiten vertauscht!
Integriert sieht das dann so aus:

-Kt = [-(1/v)] in den Grenzen von v0 bis v

Nun löst du den rechten Ausdruck für v=v1 auf, wodurch du automatisch t1 bestimmst:

-Kt1 = -(1/v0) + (1/v1)

Wie du nun t1 ausrechnest dürfte ein einfaches sein.

Wie du nun s ausrechnest ist auch etwas komplizierter. Zunächst hast du ja immernoch die Gleichung

-Kt = [-(1/v)] in den Grenzen von v0 bis v

Die löst du nun für v=v auf.

-Kt1 = -(1/v0) + (1/v)

und stellst nach v um. Um von der Geschwindigkeit auf den Weg zu kommen musst du integrieren. Das musst du dann nach der Zeit t0 bis t1 integireren umd den weg von s0 bis s1 zu bestimmen, wobei du allerdings substituieren musst. Das jetzt ausführlich zu machen wäre für mich zur Zeit zu viel Arbeit. (Ich hab morgen mündliche Prüfung)

[Ronsen]

Wie siehts mit der Aufgabe davor aus? Bezog sich das "stimmt" jetzt auf die Aufgabe davor, auf das t der anderen Aufgabe oder auf beides?^^
Viel Glück bei deiner Prüfung. Ich schau mir deine Erklärungen mal in Ruhe an, scheint ja wieder ordentlich kompliziert zu werden...

[Schmunzel]

Wie siehts mit der Aufgabe davor aus? Bezog sich das "stimmt" jetzt auf die Aufgabe davor, auf das t der anderen Aufgabe oder auf beides?^^
Viel Glück bei deiner Prüfung. Ich schau mir deine Erklärungen mal in Ruhe an, scheint ja wieder ordentlich kompliziert zu werden...

oh,ja. hab mich etwas schlecht ausgedrückt. die aufgabe davor stimmt natürlich.
und danke

[Ronsen]

-Kv²=dv/dt

Das stellst du nun derart um, sodass du auf der einen Seite nach der Zeit und auf der anderen Seite gleichzeitig nach der Zeit Geschwindigkeit integrieren kannst, denn bis jetzt hast du mit dt nur die benötigte Zeit und dv die Momentangeschwindigkeit.

v²/dv = -Kdt
hier hast du dich vertan, oder? Ich komme auf: dv/v² = -Kdt
Ich glaube, du hast trotzdem richtig weitergerechnet, oder?

Auf der linken Seite wird nun nach der Geschwindigkeit von v0 bis v integriert und auf der rechten Setie nach der Zeit von t0 bis t. Es kommt raus:

∫(1/v²)dv = -K ∫1dt (die 1 steht nur zum verdeutlich. es könnte ebenso -K ∫dt dastehn)

Achtung, ich hab hier der Übersicht wegen die Seiten vertauscht!
Integriert sieht das dann so aus:

-Kt = [-(1/v)] in den Grenzen von v0 bis v

Nun löst du den rechten Ausdruck für v=v1 auf, wodurch du automatisch t1 bestimmst:

-Kt1 = -(1/v0) + (1/v1)

Wie du nun t1 ausrechnest dürfte ein einfaches sein.

Ach mein t stimmte auch nicht? Ich habe jetzt t1 = 80s; ein schönes Ergebnis, aber passt das auch logisch betrachtet? Mh, mir fehlt dazu die Vorstellungskraft. Stimmt das denn jetzt?

Wie du nun s ausrechnest ist auch etwas komplizierter. Zunächst hast du ja immernoch die Gleichung

-Kt = [-(1/v)] in den Grenzen von v0 bis v

Die löst du nun für v=v auf.

-Kt1 = -(1/v0) + (1/v)

und stellst nach v um. Um von der Geschwindigkeit auf den Weg zu kommen musst du integrieren. Das musst du dann nach der Zeit t0 bis t1 integireren umd den weg von s0 bis s1 zu bestimmen, wobei du allerdings substituieren musst. Das jetzt ausführlich zu machen wäre für mich zur Zeit zu viel Arbeit. (Ich hab morgen mündliche Prüfung)

Ich habe erstmal für v = 1/(-K*t1 + 1/v0)
Ist das richtig?
Mal Hand aufs Herz... glaubst du, die verlangen echt sowas krasses von uns o_O
ich hab Angst...

______________________________________________________________________

Edit:
"Ein Fahrzeug bewegt sich zunächst mit der konstanten Geschwindigkeit v0 und beschleunigt dann. Während der Beschleunigungsphase erhöht sich die Geschwindigkeit nach v = v0 * t² * b. Welchen Weg hat das Fahrzeug zum Zeitpunkt t dabei zurückgelegt?"

Kann ich hier davon ausgehen, dass a konstant ist und einfach nach t integrieren? Ich habe keinen einzigen Wert vorgegeben, also kann ich doch eigentlich nur eine Gleichung aufstellen. Die da bei mir wäre:

s(t) = 1/3 * v0*t³*b + s0
Ist die Aufgabe damit schon beendet?

________________________________________________________________________

Ich brauch echt mal eine Verallgemeinerung, wann ich wie am besten rechnen kann, wann die Formel, wann jene, wann integrieren, etc. pp.^^

[Schmunzel]

hier hast du dich vertan, oder? Ich komme auf: dv/v² = -Kdt
Ich glaube, du hast trotzdem richtig weitergerechnet, oder?

jo, hab hier versehentlich vertauscht. richtig hab ich allerdings weitergerechnet, da ja

(1/v²)dv = dv/v² ist. Auf dem Papier hatte ichs richtig rum^^
80s sind übrigens richtig.

Ich habe erstmal für v = 1/(-K*t1 + 1/v0)
Ist das richtig?

dürfte so stimmen. Jetzt eben nurnoch integrieren.

Mal Hand aufs Herz... glaubst du, die verlangen echt sowas krasses von uns o_O
ich hab Angst...

Ich kann dir sagen, was in Mathe drankommen kann (alles, was in der Übung nicht behandelt wurde, kommt nicht dran). In Physik weiß ich es selber nicht, da sich der Übungsleiter dazu nicht geäußert hat.

"Ein Fahrzeug bewegt sich zunächst mit der konstanten Geschwindigkeit v0 und beschleunigt dann. Während der Beschleunigungsphase erhöht sich die Geschwindigkeit nach v = v0 * t² * b. Welchen Weg hat das Fahrzeug zum Zeitpunkt t dabei zurückgelegt?"

Kann ich hier davon ausgehen, dass a konstant ist und einfach nach t integrieren? Ich habe keinen einzigen Wert vorgegeben, also kann ich doch eigentlich nur eine Gleichung aufstellen. Die da bei mir wäre:

s(t) = 1/3 * v0*t³*b + s0
Ist die Aufgabe damit schon beendet?

a ist nicht konstant. das erkennt man, wenn man ableitet. integrieren musst du für die weg-zeit funktion sowieso.

[Ronsen]

"1. Der Kern eines Heliumatoms (α — Teilchen) bewegt sich innerhalb einer 2 m langen Röhre, die Teil eines Teilchenbeschleunigers ist.
a) Wie lange befindet sich das Teilchen in der Röhre, wenn es mit einer Geschwindigkeit von 1 * 10^4 m/s eintritt, mit 5 * 10^6 m/s austritt und die Beschleunigung konstant ist?
b) Wie groß ist die Beschleunigung?"

Kann mir das einer prüfen?
Ich habe s(t) = a/2*t²+v0t und v(t) = at + v0 genommen, und via Gleichungssystem mit zwei Unbekannten a und t berechnet. Bin auf a = 6,25*10^12 m/s² und t = 7,984*10^-7s gekommen.

____________________________________________________________________________

"2. Ein Fallschirmspringer fällt nach dem Absprung 50 m im freien Fall. Dann öffnet er den Fallschirm und wird mit einer Beschleunigung von 2.0 m/s² abgebremst. Als er den Boden erreicht, ist seine Geschwindigkeit 3,0 m/s.
a) Wie lange ist der Fallschirmspringer in der Luft?
b) In welcher Höhe ist er abgesprungen?"

Gleiches Prozedere hier, allerdings bisschen schwerer.
Ich habe die Zeit eingeteilt in
vor der Fallschirmöffnung t1 = 3,19s
am Boden t2 = 14,15s
und gesamt tges = 17,34s

Als Weg habe ich: sges = 292,67m

[Schmunzel]

"1. Der Kern eines Heliumatoms (α — Teilchen) bewegt sich innerhalb einer 2 m langen Röhre, die Teil eines Teilchenbeschleunigers ist.
a) Wie lange befindet sich das Teilchen in der Röhre, wenn es mit einer Geschwindigkeit von 1 * 10^4 m/s eintritt, mit 5 * 10^6 m/s austritt und die Beschleunigung konstant ist?
b) Wie groß ist die Beschleunigung?"

Kann mir das einer prüfen?
Ich habe s(t) = a/2*t²+v0t und v(t) = at + v0 genommen, und via Gleichungssystem mit zwei Unbekannten a und t berechnet. Bin auf a = 6,25*10^12 m/s² und t = 7,984*10^-7s gekommen.

____________________________________________________________________________

"2. Ein Fallschirmspringer fällt nach dem Absprung 50 m im freien Fall. Dann öffnet er den Fallschirm und wird mit einer Beschleunigung von 2.0 m/s² abgebremst. Als er den Boden erreicht, ist seine Geschwindigkeit 3,0 m/s.
a) Wie lange ist der Fallschirmspringer in der Luft?
b) In welcher Höhe ist er abgesprungen?"

Gleiches Prozedere hier, allerdings bisschen schwerer.
Ich habe die Zeit eingeteilt in
vor der Fallschirmöffnung t1 = 3,19s
am Boden t2 = 14,15s
und gesamt tges = 17,34s

Als Weg habe ich: sges = 292,67m

Ich habe bei beiden AUfgaben dasselbe Ergebnis, wenn es dich beruhigt.

[Ronsen]

Und wie mich das beruhigt. Nach den vielen Pleiten tut es mal gut, was korrekt gelöst zu haben. Aber ich kann mir ja nie wirklich sicher sein, wenn ich die Lösungen nicht zur Hand habe. Darum freue ich mich für jeden Helfer, der die Aufgabe noch mal probehalber überfliegt