[KingLu]

Hilfe ich check gar nix mehr
ich check die aufgabe kein bisschen kann mir wer die lösen und erklären wie das geht?
bwz erklären wie das geht oder ne Seite zeigen wo das sehr gut erklärt wird?

So zur aufgabe (soll recht leicht sein versteh ich trotzdem net^^)
Gegeben is das Geradenbüschel
bm : y = m (x-2)+3
a) für welchen Wert von m enthält bm den punkt P (1/2),


b) berechen sie sämtliche Nullstellen des Geradenbüschels
Gibt es eine Gerade die keine Nullstelle hat?
lässt sich das rechnerisch erknnen?

c) Geben sie die Funktionsgleichung der jenigen Geradenbüschelan die
senkrecht zu Büschelgerade b0,5 steht.

d)Weisen sie rechnerisch nach dass sich je zwei beliebige verschiedene Geraden aus dem Geradenbüschel stets im genau dem gleichem Punkt schneiden.

Bestimmen sie auch die Koordinane deses Punktes



aufgabe 2
Schar
Gegeben ist die Geradenchar gk :y = kx +2 -3k
a)berechnen sie den schnitt puntk von g1 und g2

b)Zeichen sie g0 und g1 und g2 in ein korordinatenkreuz


c)Zeigen sie das der punkte P (3/2) auf allen geraden der char gk liegt
Welche besonderrolle nimmt demnach P n Bezug auf die GEradenchar ein?

d)Berechnen sie die Nullstellen von gk in abhänigkeit von k
Für welche k gibt es keine Nullstelle?

e Wie muss k gewählt werden damit gk durch den punkt 1/4 verläuft

f gehört die gerade g: 5x -y-23 =0 zu der gegebenen Geradenschar?

[Heinzi]

So zur aufgabe (soll recht leicht sein versteh ich trotzdem net^^)
Gegeben is das Geradenbüschel
bm : y = m (x-2)+3
a) für welchen Wert von m enthält bm den punkt P (1/2),

P(1/2) bedeutet x=1 und y=2.

Also einfach x=1 und y=2 in bm einsetzen, das ergibt:

2 = m*(1-2)+3

Das nach m auflösen und du hast die Lösung

b) berechen sie sämtliche Nullstellen des Geradenbüschels

Nullstelle bedeutet Schnittpunkt mit der x-Achse, welcher bei y=0 vorliegt. Also y=0 in bm einsetzen, was ergibt:

0 = m*(x-2)+3

Jetzt nach x auflösen, denn ein Schnittpunkt besteht ja aus x- und y-Koordinate, wobei hier die y-Koordinate schon bekannt ist.

0 = m*(x-2)+3 | -3
<=> -3 = m*(x-2) | /m falls m ungleich 0 (denn durch 0 teilen darfst du nicht)
<=> -3/m = x-2 | +2
<=> -3/m + 2 = x

Gibt es eine Gerade die keine Nullstelle hat?
lässt sich das rechnerisch erknnen?

Die Nullstelle der Gerade bm liegt bei -3/m + 2 für alle m ungleich null. Also hat jede Gerade außer b0 eine Nullstelle.

Rechnerisch erkennen? Ja, klar, haben wir doch gerade gemacht

c) Geben sie die Funktionsgleichung der jenigen Geradenbüschelan die senkrecht zu Büschelgerade b0,5 steht.

b0,5 : y = 1/2*(x-2)+3 = 1/2*x + 2

Die senkrechte Gerade hat betragsmäßig dieselbe Steigung, allerdings mit umgekehrtem Vorzeichen - also hier -1/2

Gesucht ist also diejenige Gerade bm : m*(x-2)+3 mit Steigung -1/2.

m*(x-2)+3 = m*x - 2*m + 1

Also ist m die Steigung und somit m = -1/2 und damit b-0,5 die senkrechte Gerade zu b0,5

d)Weisen sie rechnerisch nach dass sich je zwei beliebige verschiedene Geraden aus dem Geradenbüschel stets im genau dem gleichem Punkt schneiden.

Schnittpunkt zweier Geraden berechnet man durch gleichsetzen, also setzen wir die Geraden bz(x) und bk(x) gleich, wobei k ungleich z ist.

bz(x) = bk(x) | T
<=> z*(x-2)+3 = k*(x-2)+3 | -3
<=> z*(x-2) = k*(x-2) | T
<=> z*x - 2*z = k*x - 2*k | +2*z
<=> z*x = k*x -2*k + 2*z | - k*x
<=> z*x - k*x = 2*z - 2*k | T
<=> (z-k)*x = 2*(z-k) | /(z-k) geht, da (z-k) ungleich 0, da z ungleich k
<=> x = 2

Somit besitzen zwei verschiedene Geraden der Geradenschar bm stets einen gemeinsamen Punkt. Du hättest jetzt auch sagen können, ein Geradenbüschel ist eine Geradenschar, wo sich alle Geraden in einem Punkt schneiden und laut Aufgabenstellung handelt es sich bei bm um ein solches Geradenbüschel, aber das wäre wohl zu einfach gewesen und außerdem

Bestimmen sie auch die Koordinane deses Punktes

musst du ja eh noch diesen Aufgabenteil lösen xD

x=2 haben wir schon, also einfach in bm einsetzen:

y = m*(2-2)+3 = m*0+3 = 3

Der gemeinsame Punkt des Büschels ist also (2/3).

Okay, du hättest dir auch denken können, dass (nachdem du den gemeinsamen Schnittpunkt einfach aus der Deklaration von bm als Geradenbüschel gezeigt hättest, du also x=2 nicht ausgerechnet hast) dieser gemeinsame Punkt vor allem auch ne gemeinsame y-Koordinate haben muss, die bei unterschiedlichem m und ansonsten konstantem Anteil von y nur dann vorhanden sein kann, wenn sich alle Teile, die m beinhalten, zu 0 auflösen - was bei m*(x-2) gerade für x=2 der Fall ist und übrig bleibt y=3 *gg*

aufgabe 2
Schar
Gegeben ist die Geradenchar gk :y = kx +2 -3k
a)berechnen sie den schnitt puntk von g1 und g2

Naja, wie oben g1 = g2 setzen und nach x auflösen

Das erhaltene x in g1 einsetzen und das y des Schnittpunktes rausbekommen. x in g2 einsetzen und da muss dasselbe y rauskommen, ansonsten haste dich verrechnet

b)Zeichen sie g0 und g1 und g2 in ein korordinatenkreuz

Naja, das solltest du hinkriegen, dass kann doch jeder

Nimm dir zwei x-Werte, rechne das y dazu aus und verbinde die beiden Punkte, fertig ist die Gerade

c)Zeigen sie das der punkte P (3/2) auf allen geraden der char gk liegt

Zeige also gk(3)=2 durch einfaches ausrechnen

Also x=3 in gk einsetzen, umformen und y=2 rauskriegen

Welche besonderrolle nimmt demnach P n Bezug auf die GEradenchar ein?

Öhh, er liegt auf allen Geraden?? Und sonst kein anderer Punkt?

Damit ist diese Geradenschar auch ein Büschel

d)Berechnen sie die Nullstellen von gk in abhänigkeit von k
Für welche k gibt es keine Nullstelle?

Naja, wie schon bei bm, einfach y=0 einsetzen und nach x auflösen und diejenigen k, wo du mal durch 0 teilen müsstest, da sind die gk nullstellenlos

e Wie muss k gewählt werden damit gk durch den punkt 1/4 verläuft

Auch genauso wie bei bm, einfach x=1 und y=4 in gk einsetzen und nach k auflösen

f gehört die gerade g: 5x -y-23 =0 zu der gegebenen Geradenschar?

Erstmal nach y auflösen, damit die Gerade vernünftig aussieht

y = 5x-23

Jetzt gleich gk setzen, also

5x-23 = kx+2-3k

Da wir keinen Bock haben, jetzt nach k aufzulösen, schauen wir uns das Ding einfach mal an...

Links 5x und sonst steht nirgendwo x... Rechts kx und sonst nirgendwo ein x...

Also wohl k=5.

Testen wir mal. 5x+2-3*5 = 5x-11

Passt nicht. Und egal, welches andere k wir nehmen, dann kommen wir ja nicht mehr auf 5x. Also liegt das Teil nicht in der Geradenschar gk

[KingLu]

a danke^^ =) jetz verstehe ich es^^

[KingLu]

so hab jetz die 2 aufgaben gelöst aber bei der 3 häng ích jetz. bekomm ständig verschiedene x und y werte ka vlllt mach ich was falsch
hier die aufgabenstellung

gk y=kx+3-k
hk:y = x-k

aufgabe d
berechnen sie die Schnittpunkte der beiden geradenscharen.
Dikutieren sie über eventuelle Sonderfälle in habhänigkeit von k interpretertieren sie
diese Geometrisch.

so ich hab bis jetz so gerechnet
z.b k =2

y=2x+3-2
y=x-2

2x+3-2=x-2
2x+1=x-2/-x /-1
x= -3 in y=x-2 einsetzen

y=-3-2
y=-5 in y=2x-3-2 einsetzen(prüfen)
-5=-5+2x/+5
0=2x
x=0 aber der rechnung davor kommich auf-3ich versteh nich was ich falsch mach=(

[tobr]

Du musst den Schniitpunkt in Abhängigkeit von k berechnen.

gk(x)=hk(x)

k*x+3-k = x-k das formst du nach x um

k*x+3 = x

k*x-x+3=0

x*(k-1)=-3

x=-3/(k-1)

Das setzt du jetzt in eine der Gleichungen ein, um die y-Koordinate zu erhalten.

hk(x) = x-k

hk(x) =-3/(k-1) -k

Der Schnittpunkt hat also die Koordinaten P(-3/(k-1) | -3/(k-1) -k)

2x+3-2=x-2
2x+1=x-2/-x /-1
x= -3 in y=x-2 einsetzen

Ich weiß ja nicht was du da gerechnet hast, aber es verstößt wahrscheinlich gegen alle Regeln der Mathematik.

[KingLu]

k*x+3 = x

k*x-x+3=0
x*(k-1)=-3

x=-3/(k-1)

Das setzt du jetzt in eine der Gleichungen ein, um die y-Koordinate zu erhalten.

hk(x) = x-k

hk(x) =-3/(k-1) -k

Der Schnittpunkt hat also die Koordinaten P(-3/(k-1) | -3/(k-1) -k)

ich versteh nich wie du von k*x-x+3=0 auf x*(k-1)=-3 kommst also dies x*(k-1)

[Vanion]

ich versteh nich wie du von k*x-x+3=0 auf x*(k-1)=-3 kommst also dies x*(k-1)

Distributivgesetz:
a*c+b*c=(a+b)*c

In deinem Fall hat er zuerst die drei nach rechts rübergezogen:
k*x-x+3=0
k*x-x=-3
Und dann das Distributivgesetz angewendet:
k*x-x=-3
k*x+(-1)*x=-3
(k-1)*x=-3

[ojas]

k*x-x
= x*k - x (Kommutativgesetz)
= x*k - x*1
= x*(k-1) (Distributivgesetz)

[KingLu]

o gott hoffendlich schrieb ich mrogen keien ex^^ so schnell merk ich mir das net aber danke

[Heinzi]

gk y=kx+3-k
hk:y = x-k

aufgabe d
berechnen sie die Schnittpunkte der beiden geradenscharen.
Dikutieren sie über eventuelle Sonderfälle in habhänigkeit von k interpretertieren sie
diese Geometrisch.

Der Schnittpunkt hat also die Koordinaten P(-3/(k-1) | -3/(k-1) -k)

Moment.

Das k bei gk und hk ist keineswegs dasselbe! Das ist ein jeweiliger Parameter, der sich nur auf die zugehörige Geradenschar bezieht, genauso wie sich das x bei f(x) und g(x) nur auf die jeweilige Funktion bezieht.

Man müsste hier also die k durch kg und kh substituieren und dann die Schnittpunkte ausrechnen, wobei diese dann in Abhängigkeit von kg und kh sind.

So wie tobr das gerechnet hat, bekommst du nämlich nicht alle Schnittpunkte der beiden Geradenscharen, sondern nur diejenigen der Geradenpaare (g1,h1), (g2,h2), (g3,h3) usw.

Was aber ist mit dem Schnittpunkt der Geraden g7 und h9? Und den ganzen anderen?

g1(x) = x+2 und h-2(x) = x+2 haben zum Beispiel unendlich viele Schnittpunkte - Stichpunkt eventuelle Sonderfälle

[tobr]

Moment.

Das k bei gk und hk ist keineswegs dasselbe! Das ist ein jeweiliger Parameter, der sich nur auf die zugehörige Geradenschar bezieht, genauso wie sich das x bei f(x) und g(x) nur auf die jeweilige Funktion bezieht.

Normalerweise würde man die Parameter dann aber unterschiedlich bennen, was hier aber nicht der Fall ist. In der Schule haben wir solche Aufgaben auch immer so gerechnet, ich werd morgen mal meinen Lehrer fragen, wie er das sieht.

[KingLu]

so ne frage?

kann ein Geradenbüschel auch z.b die Kordianten 2/3 haben? oder ist es nur Geadenbüschel möglich mit (2/0)

y=kx+k = Geradenbüschel oder?

y=2x+ k = Geradenschar

y=kx+5 = Geradenbüschel

gibt auch sowas wie einen Geradenscharbüschel oder so?

[Heinzi]

Ein Geradenbüschel ist ja eine Geradenschar mit einem gemeinsamen Schnittpunkt.

y=kx+k = Geradenbüschel oder?

Betrachte zwei beliebige Geraden gk und gh der Schar.

Schnittpunkt von gk und gh:

kx+k = hx+h <=> kx = hx + (h-k) <=> (k-h)x = (h-k) <=> x = (h-k)/(k-h) = -1 * (k-h)/(k-h) = -1

Einsetzen liefert -k+k = 0, also Schnittpunkt (-1/0).

Es ist also ein Geradenbüschel mit gemeinsamem Schnittpunkt (-1/0). Es ist auch eine Geradenschar, da jedes Büschel auch eine Schar ist.

y=2x+ k = Geradenschar

Betrachte auch hier zwei beliebige Geraden gh und gk der Schar und ermittele ihren Schnittpunkt.

2x+k = 2x+h <=> k=h

Zwei Geraden dieser Schar haben also genau dann einen Schnittpunkt, wenn es dieselben Geraden sind. Es handelt sich also nicht um ein Geradenbüschel. Eine Geradenschar ist sie natürlich trotzdem.

y=kx+5 = Geradenbüschel

kx+5 = hx+5 <=> kx = hx <=> k=h v x=0

Schnittpunkt ist also (0/5), womit es sich um ein Geradenbüschel handelt. Und damit natürlich auch um eine Geradenschar.

gibt auch sowas wie einen Geradenscharbüschel oder so?

Kommt drauf an, was du damit meinst

Eine Geradenbüschelschar könnte man sich z.B. mit zwei Parametern konstruieren, wo dann über den einen jeweils ein Geradenbüschel definiert wird, welche durch Verschiebung des zweiten zu einer Schar werden.
Ob bzw wie man ein Geradenscharbüschel konstruieren kann, sehe ich gerade nicht, stehe dem aber eher skeptisch gegenüber.


Jedes Geradenbüschel ist eine Geradenschar, nämlich eine spezielle, die eben einen gemeinsamen Schnittpunkt hat. So wie jede Stute ein Pferd ist, eben ein spezielles, welches weiblich ist. Falls du das gemeint haben solltest.
Andersrum ist das natürlich nicht so.

kann ein Geradenbüschel auch z.b die Kordianten 2/3 haben? oder ist es nur Geadenbüschel möglich mit (2/0)

Geradenbüschel mit (p/0) und (0/p) mit beliebigem p aus R sind möglich, wie man anhand der Beispiele (an der Uni würde man hier das Wort "leicht" einfügen) sehen kann.

kx+p liefert stets ein Büschel mit (0/p) als gemeinsamem Schnittpunkt und kx+(-p)k liefert stets ein Büschel mit (p/0) als gemeinsamem Schnittpunkt. Wenn du magst (bzw es dich interessiert), kann ich dir das noch beweisen und dabei erklären

Zu betrachten bliebe also lediglich noch der Fall, dass der Parameter nur in der nullten Ordnung vorkommt, also in der Form ax+k.

Schauen wir einfach mal

Ah, da haben wir ja schon unser Beispiel 2x+k, was nicht zu einem Büschel geführt hat. Analog dazu betrachten wir jetzt ax+k mit festem a und Parameter k, um zu beweisen, dass niemals ein Büschel entstehen kann.

ax+k = ax+h <=> k=h und schwuppdiwupps, quot erat demonstrandum

Es ist also nicht möglich, ein Geradenbüschel mit Schnittpunkt abseits der beiden Koordinatenachsen zu basteln. Jedenfalls nicht mit einem einzigen Parameter und eine Geradenschar hat ja (soweit ich weiß) nur einen.