[Novizethme]

Wir schreiben am Donnerstag Klausur und ich hätte da bestimmt noch einige Fragen.

z.B. die h-Methode, ich kapier gar nicht wie man die anwendet.
Bzw. fehlt mir schon der Ansatz.

Ich leite f(x)=x² ab, das ist eigentlich ja f'(x)=2x, aber ich hab da irgendwie was anderes notiert, wenn man an einer bestimmten Stelle die Ableitung bestimmen will, also an x Null=3.

Aufgeschrieben hab ich: f'(x Null)=lim f(x Null+h)-f(x)/h (Bruchstrich weis ich nicht wie der geht... lim h->0)

So... wie komme ich auf den Ansatz? Ist das eine Konstante und wie muss ich dann vorgeben um die Ableitung an der genannten Stelle zu bestimmen?

[Zhanior]

Was Du h-Methode nennst, ist eine Möglichkeit, die Ableitung einer Funktion an einer Stelle überhaupt zu definieren. Nach dieser Definition heißt eine reelle Funktion f differenzierbar an einer Stelle x0 ihres Definitionsbereiches genau dann, wenn der Grenzwert [Bild: mimetex.cgi?\reverse \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}], der sog. Differentialquotient, existiert; man nennt [Bild: mimetex.cgi?\reverse f'(x_0) :=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}] dann die Ableitung von f an der Stelle x0.

Offensichtlich äquivalent dazu wäre eine andere Formulierung des Differentialquotienten, nämlich als [Bild: mimetex.cgi?\reverse \lim_{x \rightarrow x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}].

Anschaulich motiviert ist diese Definition dadurch, dass man mit der Ableitung an einer Stelle x0 die Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion an (x0|f(x0)) erhalten will. Nun kann man die Tangente durch eine Sekante durch (x0|f(x0)) und einen weiteren Punkt (x|f(x)) annähern. Deren Steigung wäre [Bild: mimetex.cgi?\reverse \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}] ("Differenzenquotient").
Wenn man nun den Grenzprozess x->x0, also quasi die Sekante durch einen beliebig nahe bei (x0|f(x0)) liegenden Punkt betrachtet, erhält man genau das, was man will, nämlich die Tangente bzw. deren Steigung.

In der Praxis benutzt man zum Ableiten meistens nicht mehr diese Definition, sondern daraus hergeleitete Regeln, mit denen Du zum Beispiel aus f(x)=x² die Ableitung f'(x)=2*x gewonnen hast. Laut der Aufgabenstellung sollst Du aber offenbar den Differentialquotienten zur Bestimmung der Ableitung verwenden (das Ergebnis ist natürlich das gleiche), d.h. Du musst obigen Grenzwert ausrechnen. Falls Du damit Schwierigkeiten hast, sag nochmal Bescheid.