[Gunslinger]

Gibt es hier User, die sich so gut mit Mathematik auskennen, dass sie mir konkret die Unterschiede zwischen diesen Dingen erklären können?
Ist nur aus Interesse.

Dankeschön

[Pyrokar]

Ein Axiom ist, salopp gesagt (keine Ahnung, obs da was wissenschaftlicheres gibt), eine für gültig erachtete Annahme, mit der in einem System gearbeitet wird (eigentlich immer darauf aufbauend). Ziemlich anschaulich finde ich da z.B. das Axiom in der Wahrscheinlichkeitstheorie, dass die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses immer zwischen 0 und 1 liegt.

Eine Definition ist die Festlegung der Bedeutung eines Begriffes. Um zum Beispiel Attribute wie "linear" verwenden zu können, muss definiert sein, was Linearität bedeutet.
Eine Abbildung ist linear, wenn gilt (ich hoffe, da fehlt nichts):
- f(x + y) = f(x) + f(y)
- a*f(x) = f(a*x)
Jetzt kann man hingehen und über die Klasse der linearen Funktionen reden. Also Aussagen treffen, wie "Für jede lineare Funktion gilt bliblablubb".

Postulat sagt mir nichts. Ich verbinde damit zwar etwas, aber ich bin mir nich sicher, ob das mit dem Begriff tatsächlich assoziiert werden soll.
EDIT: Ich hab grad mal gemogelt und in die Wiki geschaut - nein, ich hätte mit Postulat was anderes verbunden, auch im mathematischen Sinne.

[Gunslinger]

Aber ist Definition immer etwas, was einen Begriff festlegt?
Nehmen wir mal 0! = 1
Ist das ein Axiom oder eine Definition?

Ich hab mal gehört, dass etwas nur ein Axiom ist, wenn man diese Tatsache her vom reinen Menschenverstand niemals anzweifeln würde, man sie aber nicht beweisen kann. Wie dein Beispiel mit der Wahrscheinlichkeitsrechnung oder auch "Jede natürliche Zahl n hat genau einen Nachfolger n+1".

[Pyrokar]

Aber ist Definition immer etwas, was einen Begriff festlegt?
Nehmen wir mal 0! = 1
Ist das ein Axiom oder eine Definition?

Was die einzelnen Zahlen (bzw. Zahlzeichen) repräsentieren, ist meiner Meinung nach ne Definition. Es ist irgendwann mal festgelegt worden, wofür welche Zahl steht.

Dass im herkömmlichen Gebrauch 0!=1 gilt, würde ich den Peano-Axiomen entnehmen. Sie sind ein Modell, das die natürlichen Zahlen beschreibt.
So ist die 0 kein Nachfolger einer natürlichen Zahl, für alle anderen Zahlen gibt es genau einen Nachfolger.

Es gibt aber auch Fälle, wo nicht 0!=1 gelten muss () - zwar kenne ich nur einen Fall, aber als Beispiel sollte das reichen - im Ring Z/0_Z ist die 0 sowohl das neutrale Element der Addition als auch der Multiplikation (und überhaupt das einzige Element der Menge), die per Konvention (Definition?) mit 0 (Addition) und 1 (Multiplikation) bezeichnet werden.

Ich hab mal gehört, dass etwas nur ein Axiom ist, wenn man diese Tatsache her vom reinen Menschenverstand niemals anzweifeln würde, man sie aber nicht beweisen kann. Wie dein Beispiel mit der Wahrscheinlichkeitsrechnung oder auch "Jede natürliche Zahl n hat genau einen Nachfolger n+1".

Es macht Sinn, nur so Sachen als Axiome zu verwenden, die wahr erscheinen.
In der Logik kann man sich aber im Prinzip alles als Axiom hernehmen - nur kann dann die Menge aller möglichen Folgerungen inkonsistent sein, was Systeme mit solchen Axiomen recht nutzlos macht.

Das ist übrigens auch die Grundlage für Widerspruchsbeweise. Man trifft irgend eine Annahme (das ist ein Axiom) und zeigt dann, dass man mit dieser Annahme etwas herleiten kann (ich nenns mal X), was im System der Mathematik nicht gelten kann (auf Grundlage der mathematischen Axiome und deren Folgerungen).
Konnte man X mit der getroffenen Annahme herleiten, aber gilt ohne diese Annahme in der Mathematik bereits !X, dann wäre die Mathematik inkonsistent, wenn die getroffene Annahme gelten würde, da sowohl X als auch !X in ihr enthalten wären (es kann immer nur X oder !X in einer konsistenten Theorie enthalten sein).

Ich hoffe, das ist nachvollziehbar beschrieben.

[walljumper]

0! = 1 ist eine Definition, hat sich einfach als praktisch erwiesen.

Ein Postulat ist für mich eine Behauptung, die als richtig anerkannt wird, die aber (noch) nicht beweisbar ist.

[ojas]

Axiome sind Aussagen, die dazu verwendet werden, den Rahmen für Schlussfolgerungen vorzugeben. Drei Sachen sind dabei wichtig:

1. Es sind Aussagen. Aussagen sind die Dinge, von denen man sich fragen kann ob sie wahr oder falsch sind.
2. Sie bilden einen Rahmen für Schlussfolgerungen. Die Schlussfolgerungen, die aus den Axiomen gezogen werden, sind natürlich nur im Rahmen der Axiome gültig, aus denen sie abgeleitet sind.
3. Ob eine Aussage ein Axiom ist oder nicht, kann man der Aussage nicht ansehen. Man kann es nur anhand der Verwendung der Aussage erkennen.

Definitionen vergeben Namen für Zusammenhänge. Eine Defintion ist also keine Aussage, sondern eher eine Handlung.

Nehmen wir mal 0! = 1
Ist das ein Axiom oder eine Definition?

0! = 1 wird gelesen "Die Fakultät von 0 ist 1". Das ist eine Aussage, also mit Sicherheit keine Defintion.

Wenn ich gerade definiere, was denn unter Fakultät zu verstehen ist, kann ich diese Aussage als Axiom hinzufügen, da es eine sinnvolle, aber im Grunde genommen willkürliche Festlegung ist.

Eine Definition wäre z.B. 0! := 1 (gelesen "Ich definiere die Fakultät von 0 als 1").

Ich hab mal gehört, dass etwas nur ein Axiom ist, wenn man diese Tatsache her vom reinen Menschenverstand niemals anzweifeln würde, ...

Diese Deutung von Axiomen gibt es tatsächlich. In der Mathematik wird der Begriff Axiom aber nicht so verwendet.


Eine Definition von Fakultät mit Axiomen:

1. Axiom: 0! = 1
2. Axiom: n! = n*(n-1)! für n > 0
3. Defintion: Die Fakultät m! einer Zahl m aus IN ∪ {0} ist definiert durch die Axiome 1 und 2

Eine Definition von Fakultät ohne Axiome:

1. 0! := 1
2. n! := n*(n-1)! für alle n ∈ IN \ {0}

[Pyrokar]

Öhm, ich merke grad, dass hier mit ! die Fakultät gemeint ist/war - in meinem Post steht != für ungleich.