[Merdon]

Kann man eine Gleichung der Form
a*sin(x)=x; a Konstante Element R, x Element R als Bogenmaß
irgendwie nach x auflösen?

[Deloryyan]

Nein, das dürfte nicht gehen. Wenn du allerdings Lösungen für x berechnen möchtest, kannst du es mit speziellen Verfahren approximieren. Ein mögliches wäre das Newton-Verfahren. Die Lösung 0 kannst man aber auch so sehen.

[Merdon]

Nein, das dürfte nicht gehen. Wenn du allerdings Lösungen für x berechnen möchtest, kannst du es mit speziellen Verfahren approximieren. Ein mögliches wäre das Newton-Verfahren. Die Lösung 0 kannst man aber auch so sehen.

Okay, danke. Um die "Nullnummer" gings mir natürlich nicht, sondern eher um die andere Lösungen.

[walljumper]

Okay, danke. Um die "Nullnummer" gings mir natürlich nicht, sondern eher um die andere Lösungen.

Für |a|<1 kann ich zeigen, dass es keine anderen Lösungen gibt xD.

[Deloryyan]

Für |a|<1 kann ich zeigen, dass es keine anderen Lösungen gibt xD.

Müsste dies nicht sogar für |a|<= 1 gelten? ^^

[Shadowblade]

Verwendet man das Verfahren für implizite Funktionen, kann man wenigstens eine Differentialgleichung für x(a) und a(x) finden.

Beschreibt man die Lösungsmenge durch eine bestimmende Gleichung
f(x, a) = a*sin(x)-x=0

dann gilt offenbar auch für das totale Differential von f
df = 0

Rechnet man es explizit aus, so folgt:

sin(x)*da - 1 + a*cos(x)*dx = 0

Woraus sich die beiden impliziten Ableitungen
x'(a) = sin(x)/(1-a*cos(x))
a'(x) = (1-a*(cos(x))/sin(x) = csc(x)-a*cot(x)

ergeben, die man als System partieller nichtlinearer Differentialgleichungen für a und x auffassen kann.

Auf irgendeine relativ komplizierte Art kann man diese Differentiagleichung lösen (Wolfram-Alpha machts vor - einfach die Zeile (*) eingeben, er liefert sogar einen Lösungsweg, aber ich kenn mich da nicht soo gut aus, ich verstehe nicht alles.)

Die spezielle Lösung für a(x) lautet auf jeden Fall
a(x) = x*csx(x)
Was ja auch irgendwie direkt einleuchtend ist. Denn der Kehrwert von sin(x) ist csc(x) und damit hebt sich der Sinus weg und das x bleibt übrig.

So hast du eigentlich also nur eine Möglichkeit aus dem x das a zu bestimmen, was ja aber auch schon gar nicht mal so schlecht ist. Vor allem kann man jetzt aber a(x) zeichnen und das Blatt "um 90° drehen", dann sieht man den funktionalen Zusammenhang zwischen x und a.

[Satans Krümelmonster]

ergeben, die man als System partieller nichtlinearer Differentialgleichungen für a und x auffassen kann.

die eine DGL ist natürlich der kehrwert der anderen. da von system zu sprechen kommt mir ein wenig hoch gegriffen vor.

a(x) = x*csx(x)
Was ja auch irgendwie direkt einleuchtend ist. Denn der Kehrwert von sin(x) ist csc(x) und damit hebt sich der Sinus weg und das x bleibt übrig.

dir ist schon klar, dass das die ausgangsgleichung ist, die vorgegeben war, oder?
wenn ich a sin(x)=x nach a umstellen, komme ich auch auf x csc(x)=x/sin(x). da baruahc ich kein wolframalpha und keine differentialgleichungen für.

[Shadowblade]

Das ist mir dann im Nachhinein auch aufgefallen... also das mit dem Umstellen, aber so hab ich immerhin meine Erinnerung an das implizite Rechnen nochmal aufgefrischt

[Sur-Taka]

Verwendet man das Verfahren für implizite Funktionen, kann man wenigstens eine Differentialgleichung für x(a) und a(x) finden.

Beschreibt man die Lösungsmenge durch eine bestimmende Gleichung
f(x, a) = a*sin(x)-x=0

dann gilt offenbar auch für das totale Differential von f
df = 0

genau genommen sehe ich nicht, warum das gelten soll... zumal ich mir nichtmal sicher bin was du mit df genau bezeichnen möchtest
edit: evtl meine schuld, weil ich wohl nicht die definition eines differentials kenne, allerdings habe ich auch nichts zufriedenstellendes gefunden...

[Shadowblade]

genau genommen sehe ich nicht, warum das gelten soll... zumal ich mir nichtmal sicher bin was du mit df genau bezeichnen möchtest
edit: evtl meine schuld, weil ich wohl nicht die definition eines differentials kenne, allerdings habe ich auch nichts zufriedenstellendes gefunden...

Da ich zur typischerweise mathematisch untergebildeten Fraktion der Physikstudenten gehöre, kann ich mich an den stringenten Beweis nicht erinnern (hatte was mit dem lokalen Diffeomorphismus zu tun. Wenn es dich interessiert, schlag nach unter dem "Satz über implizite Funktionen".)

Allerdings kann man das (wenn man eben nicht soo sehr auf die ganzen mathematischen Genauigkeiten achtet, wie wir es häufig zu tun pflegen) ganz leicht folgendermaßen argumentieren:
Du hast eine Funktion f, die von a und x abhängt, wobei du eine Lösung x(a) suchst, sodass f identisch 0 ist. Für diese Lösung muss dann zwar nicht die partielle aber auf jeden Fall die totale Ableitung nach a 0 ergeben. Denn eine Änderung von a muss zu einer entsprechenden Änderung von x führen, die f(x(a),a)=0 befriedigt.
Als Physiker formuliert man das gerne (anschaulich) als totales Differential der Funktion f, das quasi eine Funktion der Differentiale da und dx ist.
df = ∂f/∂x dx + ∂f/∂a da = 0
f'(a) = ∂f/∂x * x'(a) + ∂f/∂a = 0
Diese "Gleichung" gibt also einen Zusammenhang zwischen einer Änderung in a und einer Änderung in x an und lässt sich schließlich nach x'(a) auflösen. Das nennt man dann die implizite Ableitung.


Also zusammenfassend: das totale Differential ist nichts, was in der modernen Mathematik schlüssig definiert ist. Über die historischen Grundlagen kann man was bei Wikipedia lesen, allerdings ist der Artikel sehr schlecht und eher nicht empfehlenswert, einfach deswegen, weil moderne Mathematiker mit dem Begriff nichts anfangen wollen, was ich auch verstehen kann.
In der Physik verwendet man Differentiale, weil sie recht einfach zu handhaben sind, ohne dass man ständig Grenzwertdefinitionen einsetzen muss. Da die Physik sowieso eher anwendungsorientiert ist und sich nicht wirklich darum kümmert, ob ihre Methoden in letzter Konsequent mathematisch korrekt sind, ist es also erstmal egal, ob "unendlich kleine Größen" in der Standard-Analysis definiert/definierbar sind oder nicht.

[Sur-Taka]

Da ich zur typischerweise mathematisch untergebildeten Fraktion der Physikstudenten gehöre, kann ich mich an den stringenten Beweis nicht erinnern (hatte was mit dem lokalen Diffeomorphismus zu tun. Wenn es dich interessiert, schlag nach unter dem "Satz über implizite Funktionen".)

Allerdings kann man das (wenn man eben nicht soo sehr auf die ganzen mathematischen Genauigkeiten achtet, wie wir es häufig zu tun pflegen) ganz leicht folgendermaßen argumentieren:
Du hast eine Funktion f, die von a und x abhängt, wobei du eine Lösung x(a) suchst, sodass f identisch 0 ist. Für diese Lösung muss dann zwar nicht die partielle aber auf jeden Fall die totale Ableitung nach a 0 ergeben. Denn eine Änderung von a muss zu einer entsprechenden Änderung von x führen, die f(x(a),a)=0 befriedigt.
Als Physiker formuliert man das gerne (anschaulich) als totales Differential der Funktion f, das quasi eine Funktion der Differentiale da und dx ist.
df = ∂f/∂x dx + ∂f/∂a da = 0
f'(a) = ∂f/∂x * x'(a) + ∂f/∂a = 0
Diese "Gleichung" gibt also einen Zusammenhang zwischen einer Änderung in a und einer Änderung in x an und lässt sich schließlich nach x'(a) auflösen. Das nennt man dann die implizite Ableitung.


Also zusammenfassend: das totale Differential ist nichts, was in der modernen Mathematik schlüssig definiert ist. Über die historischen Grundlagen kann man was bei Wikipedia lesen, allerdings ist der Artikel sehr schlecht und eher nicht empfehlenswert, einfach deswegen, weil moderne Mathematiker mit dem Begriff nichts anfangen wollen, was ich auch verstehen kann.
In der Physik verwendet man Differentiale, weil sie recht einfach zu handhaben sind, ohne dass man ständig Grenzwertdefinitionen einsetzen muss. Da die Physik sowieso eher anwendungsorientiert ist und sich nicht wirklich darum kümmert, ob ihre Methoden in letzter Konsequent mathematisch korrekt sind, ist es also erstmal egal, ob "unendlich kleine Größen" in der Standard-Analysis definiert/definierbar sind oder nicht.

kein wunder das ich damit nichts anfangen kann, das ist physiker-voodoo... ihr erklärt die substitution bei integralen ja auch damit, dass sich die differentiale rauskürzen...
ja, ich kenne den satz über implizite funktionen, und weiß auch in etwa was er aussagt... da du aber schreibst, dass das differential offenbar 0 sein soll, aber mir nicht mal sagen kannst, was denn ein differential überhaupt ist, finde ich das nicht so schlüssig...
ich selbst wüsste allerdings nicht, wie ich den satz über implizite funktionen in so einem zusammenhang sinnvoll anwenden könnte... da der satz meines wissens nach im wesentlichen aussagen über die existenz der funktionen macht, nicht aber wie sie auszusehen haben... aber ich bin in der praktischen anwendung von sowas nicht so gut^^

[Der Metzger]

Der Satz über die implizite Funktion besagt hier, dass sich die Funktion lokal eindeutig nach x auflösen lässt, sofern a * cos(x) != 1 und die Funktion x(a) in diesen Punkten stetig differenzierbar ist. Der Satz sagt auch etwas über die Ableitung dieser Funktion aus, aber die lässt sich auch einfach durch differenzieren einer Gleichung nach a herausfinden:

a * sin(x(a)) - x(a) = 0
==> sin(x(a)) + x'(a) * a * cos(x(a)) - x'(a) = 0
x'(a) = sin(x(a))/(1 - a * cos(x(a)))



Auf diese Formel kommt man also auch ohne das ganze Physiker gedöhnz Viel bringen tut das allerdings trotzdem nichts, analytisch ist diese Gleichung [mit ziemlicher Sicherheit] nicht lösbar.