[Flammendämon]

Ich stelle mir gerade die Frage, wie genau man den Unterschied zwischen Regel- und Riemannintegral beschreiben kann.

Soweit ich mich eingelesen habe (bzw, es verstanden habe) liegt der Knackpunkt in der Tatsache, dass eine regelintegrierbare Funktion stetig (?) sein muss, während beim Riemannintegral "nur" die Ober und Untersumme gegen den gleichen Wert konvergieren muss.

Allerdings beschleicht mich das leise Gefühl, dass da was falsch dran ist, ich bin mir nämlich bei dem "stetig" keinesfalls sicher.

[ojas]

Eine Funktion f heißt regelintegrierbar, wenn eine Folge von Treppenfunktionen (f_n)_n∈ℕ existiert, die gleichmäßig gegen f konvergiert.

Eine Folge (f_n)_n∈ℕ konvergiert gleichmäßig gegen f, wenn

lim_n→∞sup_x|f_n(x) - f(x)| = 0

gilt.

Folgerung 1: Es gibt regelintegrierbare Funktionen, die nicht stetig sind. Wähle dazu eine Treppenfunktion f und die Folge mit f_n = f ∀n∈ℕ. Diese Folge ist offensichtlich gleichmäßig konvergent gegen f. Treppenfunktionen sind also regelintegrierbar, allerdings nicht stetig so lange sie nicht konstant sind.

Wähle nun f: [-1, 1] → ℝ; x ↦ if (x = 0) then 0 else 1 und eine gegen f konvergente Folge (f_n)_n∈ℕ von Treppenfunktionen. Dann ist sup_x|f_n(x) - f(x)| = 1 für jedes n∈ℕ, da es eine Umgebung um 0 gibt, in der f_n ≡ 0 ist. Somit ist auch lim_n→∞sup_x|f_n(x) - f(x)| = 1. (f_n)_n∈ℕ ist also nicht gleichmäßig konvergent. Da jede gleichmäßig konvergente Folge konvergent ist, gibt es keine gegen f gleichmäßig konvergierende Folge von Treppenfunktionen. Somit ist f nicht regelintegrierbar.

Allerdings ist f riemannintegrierbar mit Integral 2.

Folgerung 2: Nicht jede riemanintegrierbare Funkion ist regelintegrierbar.

[Flammendämon]

Zu erst einmal danke für die schnelle und ausführliche Antwort (auch wenn ich einiges nicht genau lesen kann, da es leider teilweise ineinander übergeht (von allem die Indices)).

am meisten Kopfzerbrechen bereitet mir dieser Teil, da ich mir nichts genaues drunter vorstellen kann :
limn→∞ supx|fn(x) - f(x)| = 0

leider verschafft auch das internet mir keine anschauliche darstellung

[walljumper]

Man kann sich darunter das supremum der Funktion im unendlichen vorstellen.

z.B. (-1)^n konvergiert nicht hat aber das supremum 1 im Unendlichen.

[ojas]

lim_n→∞sup_x|f_n(x) - f(x)| = 0

Dann mal in Worte gefasst: bilde die Differenz zwischen Funktion der Folge und ursprünglicher Funktion um eine Funktion diff_n zu erhalten. Nun nimmst du an jeder Stelle von diff_n den Betrag und bekommst eine Funktion absdiff_n. Von dieser Funktion nimmst du das Supremum supabsdiff_n. Nun lässt du n gegen unendlich laufen und bestimmst den Grenzwert supabsdiff.

Eine Funktion ist gleichmäßig konvergent genau dann wenn supabsdiff=0 ist.

[Flammendämon]

Ok, danke an euch beide, jetzt ists mir klar.

Für einen Schüler der 12. klasse sind die Formeln die du zuerst genutzt hast noch ein wenig verwirrend, ich hatte vergessen das zu erwähnen.


Das heißt dass eine folge von treppenfunktionen existieren muss, die exakt auf dem graphen von f liegt damit der lim sup =0 ist damit f regelintegrierbar ist?


und was ist Integral 2?

edit: ich habe gelesen, dass die Funktion sin(1/x) für x !=0 und 0 für x=0 auf dem Intervall [0;1] zwar riemann, aber nicht regelintegrierbar ist.

[ojas]

Das heißt dass eine folge von treppenfunktionen existieren muss, die exakt auf dem graphen von f liegt damit der lim sup =0 ist damit f regelintegrierbar ist?

Die Folge von Treppenfunktionen muss nicht auf dem Graphen von f liegen, sondern gegen f konvergieren. Und zwar gleichmäßig (im Gegensatz zu punktweise).

Gleichmäßige Konvergenz kann man auch als Spiel auffassen: Du nennst mir ein ε>0, dann nenne ich dir ein n∈ℕ, so das für jedes x gilt |f_n(x) - f(x)| < ε. Wenn ich das für jedes von dir genannte ε schaffe, dann konvergieren die f_n gleichmäßig gegen f (ich habe dann das Spiel gewonnen).

Im Gegensatz dazu Punktweise Konvergenz: Du nennst mir ein ε>0 und ein x, dann nenne ich dir ein n∈ℕ, so das |f_n(x) - f(x)| < ε gilt. Wenn ich das für jede von dir genannte Kombination aus ε und x schaffe, dann konvergieren die f_n punktweise gegen f.

und was ist Integral 2?

Damit meinte ich, für

f: [-1, 1] → ℝ; x ↦ if (x = 0) then 0 else 1

ist

∫_-1¹f(x) dx = 2

[Flammendämon]

Und bei der Funktion die ich oben genannt habe geht es nicht, weil sie im Bereich um 0 herum so stark schwankt und daher endlos viele Punkte nicht in diesem Epsilon(schlauch) liegen, da der graph von 1 bis -1 schwankt

edit: ich hätte mir nicht das als facharbeitsthema aufschwatzen lassen sollen

[walljumper]

Und bei der Funktion die ich oben genannt habe geht es nicht, weil sie im Bereich um 0 herum so stark schwankt und daher endlos viele Punkte nicht in diesem Epsilon(schlauch) liegen, da der graph von 1 bis -1 schwankt

edit: ich hätte mir nicht das als facharbeitsthema aufschwatzen lassen sollen

Naja in der Schule lernt man normalerweise keine Mathematik sondern nur Rechnen, deshalb hat man dann ein Problem wenn man mal Mathematik machen soll. ^^

[Flammendämon]

allerdings, ich hätte nciht gedacht dass diese Integrale so ausarten können^^

mir wird grad wieder mal klar wie wenig ich eigentlich verstehe....


aber zur frage: die funktion sin (1/x) ist riemannintegrierbar, weil man mithilfe von genügend teilintervallen eine treppenfunktion schaffen kann, bei der der grenzwert der obersummen gleich dem grenzwert der untersummen ist oder?

[ojas]

Und bei der Funktion die ich oben genannt habe geht es nicht, weil sie im Bereich um 0 herum so stark schwankt und daher endlos viele Punkte nicht in diesem Epsilon(schlauch) liegen, da der graph von 1 bis -1 schwankt

Richtig. Präziser ausgedrückt: in jeder Umgebung von 0 gibt es sowohl Stellen an denen der Funktionswert 1 ist als auch Stellen an denen der Funktionswert -1 ist. Unabhängig davon wie klein du die Umgebung wählst.

die funktion sin (1/x) ist riemannintegrierbar, weil man mithilfe von genügend teilintervallen eine treppenfunktion schaffen kann, bei der der grenzwert der obersummen gleich dem grenzwert der untersummen ist oder?

Nicht so ganz. Eher weil man zwei Folgen von Treppenfunktionen schaffen kann (so das aus der einen Folge die Obersummen und aus der anderen Folge die Untersummen berechnet werden), bei der der Grenzwert der Obersummen gleich dem Grenzwert der Untersummen ist. Der Schlauch um den Funktionsgraphen kann also nahe bei 0 nicht beliebig dünn gemacht werden.

allerdings, ich hätte nciht gedacht dass diese Integrale so ausarten können^^

Das ist noch relativ harmlos. Das ist ausgeartet (hat auch ein wenig mit Integralen zu tun, da das Volumen über Integrale berechnet wird).

[Flammendämon]

Nochmal danke für deine Geduld, jetzt hab ichs glaub ich soweit verstanden ,dass ich das Colloquium hinter mich bringen kann...

Ich hab direkt Angst vor der Uni, bzw. der "wahren" Mathematik.

[walljumper]

Nochmal danke für deine Geduld, jetzt hab ichs glaub ich soweit verstanden ,dass ich das Colloquium hinter mich bringen kann...

Ich hab direkt Angst vor der Uni, bzw. der "wahren" Mathematik.

Der Anfang ist schwer oder besser gesagt einfach ungewohnt, aber wenn man mal drin ist kann man nicht genug davon bekommen ^^

[Heinzi]

Regelintegrierbarkeit kannte ich gar nicht.

Es gibt übrigens auch noch das Lebesgue-Integral, für diejenigen, die es interessiert

[Flammendämon]

Auch auf die Gefahr hin, jemanden zu nerven, hab ich noch eine Frage:

Wenn ich nun ein Integral mithilfe des Regelintegrals berechnen will, sei es hier x², wie definiere ich eine Treppenfunktion die gegen x² gleichmäßig konvergiert?

edit: problem ist folgendes: ich will in meiner facharbeit ne beispielrechnung machen, nur hänge ich dran wie ich das "sauber" aufschreiben soll

[ojas]

Wenn ich nun ein Integral mithilfe des Regelintegrals berechnen will, sei es hier x², wie definiere ich eine Treppenfunktion die gegen x² gleichmäßig konvergiert?

Wenn du soetwas sagst, dann weiß ich nie ob du dich einfach nur ungenau ausgedrückt hast, oder es nicht verstanden hast. Du brauchst eine Folge von Treppenfunktionen, die gegen f:x↦x² gleichmäßig konvergiert.

Nimm als Folge

f_n: x↦(floor(2ⁿx)/2ⁿ)²

wobei floor(x) größte ganze Zahl ist, die kleiner oder gleich x ist (auch Gaußklammer genannt). Durch diese Konstruktion hat f_i eine halb so große Schrittweite wie f_i-1. Zum Beispiel ist

f₀(0,5)
= (floor(2⁰⋅0,5)/2⁰)²
= (floor(1⋅0,5)/1)²
= floor(0,5)²
= 0²

aber

f₁(0,5)
= (floor(2¹⋅0,5)/2¹)²
= (floor(2⋅0,5)/2)²
= (floor(1)/2)²
= (1/2)²

f ist natürlich nicht auf ganz ℝ regelintegrierbar, deshalb gibt es keine Folge, die auf ganz ℝ gleichmäßig gegen f konvergiert. f ist allerdings auf jedem beschränkten Intervall regelintegrierbar; ebenso konvergiert obige Folge auf jedem beschränkten Intervall gleichmäßig gegen f.

Um das zu zeigen geht man wie bei Grenzwertbeweisen üblich vor: Sei ein Intervall (a,b) und ein ε>0 gegeben. Finde ein n, so das

|f_n(x) - f(x)| < ε

für alle x∈(a,b) ist.

ich will in meiner facharbeit ne beispielrechnung machen, ...

Eine gute Idee. Auch in mathematischen Fachbüchern werden Beispiele angegeben um neu eingeführete Begriffe zu illustrieren.

[Flammendämon]

ich habe den Vorgang mittlerweile verstanden (entschuldige meine ungenaue Ausdrucksweise)

mein Problem ist nun: wie beweise ich, dass meine (mehr oder minder) willkürliche Folge die Supremumsnorm erfüllt?

edit: nur deine (für mich komplexen) Ausdrücke machen mir noch Schwierigkeiten

[ojas]

... wie beweise ich, dass meine (mehr oder minder) willkürliche Folge die Supremumsnorm erfüllt?

Nun ja, mit der Supremumsnorm hat das eher wenig zu tun.

Sei's drum, ich schreibe das mal etwas detailierter auf als im vorhergehenden Beitrag. Ich nehme dazu mal eine etwas andere Folge:

f_n: x ↦ (½ⁿfloor(2ⁿ|x|))²

Die Treppenfunktionen dieser Folge haben eine Schrittweite von ½ⁿ.

Gegeben sei nun ein x₀ und ein ε>0. Ferner sei noch k die links von x₀ liegende Sprungstelle der Treppenfunktion. Die rechts von x₀ liegende Sprungstelle der Treppenfunktion liegt dann bei k+½ⁿ. Im ganzen sieht das dann so aus (falls x₀ positiv ist):
[Bild: plot.png]
Der Abstand der Funktionswerte an zwei benachbarten Sprungstellen ist

(k + ½ⁿ)² - k²
= k² + 2⋅k⋅½ⁿ + ½²ⁿ - k²
= 2⋅k⋅½ⁿ + ½²ⁿ.

Für n → ∞ gehen die Summanden 2⋅k⋅½ⁿ und ½²ⁿ gegen 0; somit geht auch deren Summe gegen 0. Der Abstand der Funktionswerte an zwei benachbarten Sprungstellen kann also beliebig klein werden (durch Wahl eines hinreichend großen n). Insbesondere kann er kleiner als ε werden.

Angenommen ich habe so ein n, für das 2⋅k⋅½ⁿ + ½²ⁿ < ε ist. Dann gilt auch

f(x₀) - f_n(x₀)
= x₀² - k²
≤ (k + ½ⁿ)² - k²
< ε.

Wie man aus obiger Grafik sieht (und auch nachrechnen kann) wird der Abstand zwischen den Funktioneswerten benachbarter Sprungstellen (also |f(k) - f(k + ½ⁿ)|) größer je weiter k von 0 entfernt ist. Um die gesamte Treppenfunktion auf einem Intervall (a,b) mit 0 ≤ a < b in den ε-Schlauch um f zu packen reicht es also aus, n so zu wählen, dass f_n an der auf b folgenden Sprungstelle im ε-Schlauch um f ist. Für den Fall a < 0 reicht es aufgrund der Achsensymmetrie, das Intervall (min(|a|, |b|), max(|a|, |b|)) zu betrachten und daraus aufgrund des ε ein n zu bestimmen.