[Askanius]

Zuerst mal Hallo an alle!

Ich habe eine Frage zu einer Aufgabe, die ich bis morgen erledigen muss:

Auf einem Straßenfest wird folgendes Spiel angeboten:
Der Spielleiter präsentiert 3 Karten, beidseitig gefärbt, die erste Karte ist auf beiden Seiten schwarz, die zweite auf beiden Seiten rot, die dritte auf einer Seite rot und auf der anderen schwarz.
Die Karten werden in eine Kiste gelegt und man darf blind eine Karte ziehen, von der man jedoch nur die Oberseite, die Rot zeigt, sieht.

Der Spielleiter wettet darauf, dass die unsichtbare Unterseite die selbe Farbe wie die Oberseite hat. Sollte man dagegen wetten?

Ich kann mir schon denken, dass man dies nicht tun sollte, sonst wäre die Frage ja blöd. Aber wie beweise ich das rechnerisch?

Wäre schön, wenn mir jemand helfen könnte, ich hab aufgegeben...

[ojas]

Wenn der Spielleiter Schwarz sieht dann wettet er nicht.

Wenn der Spielleiter Rot sieht, dann gibt es folgende Möglichkeiten:

• Eine Seite der roten Karte
• Andere Seite der roten Karte
• Die rote Seite der rot-schwarzen Karte

Diese drei Ereignisse haben die gleiche Wahrscheinlichkeit.

In den ersten zwei Fällen gewinnt der Spielleiter. Im dritten Fall gewinnt der Spieler. Der Spieler hat also eine Gewinnwahrscheinlichkeit on 1/3.

Ob man dagegen wetten sollte, hängt allerdings von der Quote ab, die der Spielleiter anbietet. Bei einer Quote von 1:1 (was implizit der Fall ist wenn keine Quote angegeben ist) ist das ein Verlustgeschäft für den Spieler.

Das ist dir wahrscheinlich (lol) noch nicht mathematisch genug, bestätigt aber deine Vermutung.

BTW: Ziegenproblem.

[Malak]

Wie soll alle Karten von oben rot zeigen, wenn eine beidseitig schwarz ist? Na ja...

Ist doch einfach. Du hast 3 Karten, 2 sind mit derselben Karte gefärbt und eine nicht...
Also: P(beide Seiten diesselbe Farbe)=(Anzahl der günstigen Ereignisse)/(Anzahl der möglichen Ereignisse)=2/3

Also hat er die größere Chance, da zu gewinnen...

[Thoronador]

Wenn der Spielleiter Schwarz sieht dann wettet er nicht.

Wenn der Spielleiter Rot sieht, dann gibt es folgende Möglichkeiten:

• Eine Seite der roten Karte
• Andere Seite der roten Karte
• Die rote Seite der rot-schwarzen Karte

Diese drei Ereignisse haben die gleiche Wahrscheinlichkeit.

Der Spielleiter sieht aber keine schwarze Oberseite, da ja schon in der Aufgabenstellung steht, dass eine Karte mit roter Oberseite gezogen wird. Es handelt sich also entweder um die beidseitig rote Karte oder um die rot-schwarze Karte, die beidseitig schwarze Karte ist ja nicht mehr möglich, wenn schon eine Seite rot ist.
Damit gibt es also nur noch zwei Möglichkeiten:

• rot-rote Karte -> Spielleiter gewinnt
• rot-schwarze Karte -> Spieler gewinnt

Die Gewinnwahrscheinlichkeit beträgt in diesem Falle also 50% für beide Seiten. Ob man nun dagegen wetten sollte oder nicht, hängt vom Einsatz und möglichen Gewinn des Spieles ab. Wenn der Einsatz kleiner als der mögliche Gewinn ist, dann sollte man dagegen wetten, ansonsten nicht.

[Genussmagier]

Da nur eine von 2 Karten, die auf mindestens einer der beiden Seiten rot sind, auf beiden Seiten rot ist, ist die Wahrscheinlichkeit, dass die andere Seite auch rot ist, P=1/2

Dass sie nicht rot ist, sondern scharz, ist ebenfalls zu 1/2 wahrscheinlich.

Ausführlich:
Da die gezeigte Kartenseite rot ist, fällt die Karte, die auf beiden Seiten schwarz ist, raus, da keine Seite rot sein kann.
Also bleiben 2 Karten übrig, von denen aber nur eine Karte auf beiden Seiten rot ist.
Also: P=Anzahl der richtigen Karten/ Anzahl der möglichen ziehbaren Karten= 1/2

Für einen selber ist es genau umgekehrt, die Wahrscheinlichkeit zu gewinnen ist aber höher, weil:
Die gezeigte Seite ist rot, also fällt die schwarz-scharze Karte raus.
Es sind noch die rot-schwarze und die rot-rote Karte möglich, also 2 Möglichkeiten.
Nur eine davon, nämlich die rot-schwarze bringt einem selber den Sieg.
Also ist die Wahrscheinlichkeit genau wie oben: P=1/2

Ob man gewinnt oder verliert ist völliger Zufall, gleich großer Zufall, wenn man es genau nimmt.
Für den eigenen Sieg besteht eine Wahrscheinlichkeit von P=50% oder P=1/2

Edit: Manno, da war ich nicht schnell genug.

Die Gewinnwahrscheinlichkeit beträgt in diesem Falle also 50% für beide Seiten. Ob man nun dagegen wetten sollte oder nicht, hängt vom Einsatz und möglichen Gewinn des Spieles ab. Wenn der Einsatz kleiner als der mögliche Gewinn ist, dann sollte man dagegen wetten, ansonsten nicht.

Das mit dem Einsatz habe ich garnicht bedacht, leuchtet aber ein.

[ojas]

Die Gewinnwahrscheinlichkeit beträgt in diesem Falle also 50% für beide Seiten.

Nein. Es ist so wie ich es gesagt habe. Du hast von meiner Argumentation zu viel zitiert, als das ich einen Fehler erkennen könnte.

Lass es mich so formulieren: Ich habe genug Ahnung von der Materie, um zu wissen das meine Argumentation stichhaltig ist. Es ist zu lange her als das ich es mathematisch präzise formulieren kann. Mir geht es darum, Meisterjäger auf den richtigen Weg zu schicken. Mein Weg ist der richtige.

BTW: Hast du Geld? Können wir uns vielleicht mal treffen?

Also: P=Anzahl der richtigen Karten/ Anzahl der möglichen ziehbaren Karten= 1/2

Nein. P=Anzahl der richtigen Kartenseiten/ Anzahl der möglichen ziehbaren Kartenseiten

[Thoronador]

Nein. Es ist so wie ich es gesagt habe. Du hast von meiner Argumentation zu viel zitiert, als das ich einen Fehler erkennen könnte.

Du machst einen kleinen und einen größeren Fehler in deiner Argumentation.
Der kleinere ist im Satz "Wenn der Spielleiter Schwarz sieht dann wettet er nicht." zu finden. Wie in der Aufgabenstellung gesagt wurde, sieht man schon die rote Oberseite. Schwarz wird der Spielleiter also nicht sehen. (Ich gehe übrigens von der Annahme aus, dass der Spieler und der Spielleiter die gleiche Seite sehen, denn der Spielleiter wird sich wohl nicht so positionieren, dass er sich unterhalb der gezogenen Karte befindet und so Spieler und Spielleiter zwei verschiedene Seiten sehen.)

Der größere Fehler ist in der Auflistung deiner Möglichkeiten zu finden:

Wenn der Spielleiter Rot sieht, dann gibt es folgende Möglichkeiten:

• Eine Seite der roten Karte
• Andere Seite der roten Karte
• Die rote Seite der rot-schwarzen Karte

Die ersten beiden Möglickeiten, nämlich "eine Seite der roten Karte" und "andere Seite der roten Karte" betreffen die gleiche Karte, also ist das faktisch nur eine Möglichkeit; oder wenn du unbedingt bei zwei Möglichkeiten für die gleiche Karte bleiben möchtest, dann darfst du ihnen nicht die gleiche Wahrscheinlichkeit zuordnen wie der Möglichkeit "rot-schwarze Karte" sondern nur die Hälfte davon, da es ja nicht zwei komplett rote Karten gibt. Egal wie du es machst (solange du es nur richtig machst), am Ende ist die Gewinnwahrscheinlichkeit 50%.

Lass es mich so formulieren: Ich habe genug Ahnung von der Materie, um zu wissen das meine Argumentation stichhaltig ist.

Deine Argumentation ist falsch. Das könnte dir jeder Abiturient mit hinreichend Stochastikverständnis und -kenntnis sagen.

BTW: Hast du Geld? Können wir uns vielleicht mal treffen?

Gern. Damit es sich lohnt und das empirische Gesetz der großen Zahlen zutrifft, empfehle ich mindestens 100.000 Durchgänge. Dann wirst du sehen, dass sich -gleichhohen Einsatz und Gewinn vorausgesetzt- dein Gewinn bei Null einpegelt.

[Genussmagier]

Nein. P=Anzahl der richtigen Kartenseiten/ Anzahl der möglichen ziehbaren Kartenseiten

Nun, das ist richtig, aber so wie ich das sehe ist bei 2 Karten jeweils 2 die gleiche Farbe auf beiden Seiten, daher ist es schlichtweg Jacke wie Hose, ob du bei der rot-roten Karte die eine oder die andere Seite ziehst.

Mal angenommen:
Man hat nur EINE Karte und zwar eine rot-rote, dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass die eine Seite die gleiche Farbe hat wie die andere: P=1/1, weil es auf jeden Fall so ist.
Ob man die Karte herumdreht oder nicht, beinflusst den Versuch nicht.
Sonst wäre die Wahrscheinlichkeit P=1/2, wenn man nach den Kartenseiten und nicht nach den Karten an sich ginge.
Da die Karte aber in beiden Fällen auf beiden Seite rot ist, egal ob die rote oder die rote Seite oben ist , ist die Wahrscheinlichkeit P=2/2=1/1.

Du könntest auch einen Würfel nehmen, auf dem alle 6 Seiten rot sind, die wahrscheinlichkeit, dass die gegenüberliegende Seite auf dem Würfel rot ist, bleibt immer gleich.

[Askanius]

Hey, ihr seid echt klasse!!!

Danke für die vielen Antworten!
Da es im Prinzip zwei Meinungen zur Lösung zu geben scheint, werde ich einfach beide Wege in der Aufgabe verfolgen und zwei Versionen abgeben, mal schaun, welche in der Schule als richtig angesehen wird.

Herzlichsten dank an alle,
Meisterjäger

[Merdon]

Die Wahrscheinlichkeit, dass der Spielleiter gewinnt ist 2/3, hier bekommt man ja einiges haarsträubendes zu lesen.

Erst mal alle Möglichkeiten, die sich ergeben bei dem Spiel:

P1 (Seite 1 von RotRot - Rot)
P2 (Seite 2 von RotRot - Rot)
P3 (Seite 1 von RotSchwarz - Rot)
P4 (Seite 2 von RotSchwarz - Schwarz)
P5 (Seite 1 von SchwarzSchwarz - Schwarz)
P6 (Seite 2 von SchwarzSchwarz - Schwarz)

Alle diese Ereignisse sind gleichwahrscheinlich, 1/6.
Nach der Aufgabenstellung kommen aber nur P1, P2 und P3 in Frage, da die anderen nicht Rot auf der Oberseite zeigen.

Also:

P1 (Seite 1 von RotRot - Rot)
P2 (Seite 2 von RotRot - Rot)
P3 (Seite 1 von RotSchwarz - Rot)

Diese Ereignisse sind immernoch gleichberechtigt, mittlerweile 1/3, da nur noch 3 verschiedene möglich sind.

Die Rückseite ist bei P1 und P2 ebenfalls Rot da es die Rot-Rote Karte ist. Bei P3 ist die Rückseite Schwarz (Rot-Schwarze Karte). Damit liegt die Wahrscheinlichkeit, dass die Rückseite Rot ist bei 2/3.

[Malak]

Die Wahrscheinlichkeit, dass der Spielleiter gewinnt ist 2/3, hier bekommt man ja einiges haarsträubendes zu lesen.

Erst mal alle Möglichkeiten, die sich ergeben bei dem Spiel:

P1 (Seite 1 von RotRot - Rot)
P2 (Seite 2 von RotRot - Rot)
P3 (Seite 1 von RotSchwarz - Rot)
P4 (Seite 2 von RotSchwarz - Schwarz)
P5 (Seite 1 von SchwarzSchwarz - Schwarz)
P6 (Seite 2 von SchwarzSchwarz - Schwarz)

Alle diese Ereignisse sind gleichwahrscheinlich, 1/6.
Nach der Aufgabenstellung kommen aber nur P1, P2 und P3 in Frage, da die anderen nicht Rot auf der Oberseite zeigen.

Also:

P1 (Seite 1 von RotRot - Rot)
P2 (Seite 2 von RotRot - Rot)
P3 (Seite 1 von RotSchwarz - Rot)

Diese Ereignisse sind immernoch gleichberechtigt, mittlerweile 1/3, da nur noch 3 verschiedene möglich sind.

Die Rückseite ist bei P1 und P2 ebenfalls Rot da es die Rot-Rote Karte ist. Bei P3 ist die Rückseite Schwarz (Rot-Schwarze Karte). Damit liegt die Wahrscheinlichkeit, dass die Rückseite Rot ist bei 2/3.

Nein...ihr begeht einen haarsträubenden Fehler. Wir haben zwei Karten, eine ist beidseitig rot und die andere eben nicht. Dabei ist es egal, ob man von der einen Karte die eine oder andere Seite sieht. Karte bleibt Karte. Es wäre so, als würdet ihr von beiden Karten blind eine ziehen, bei einer Karte hast du gewonnen, bei der anderen nicht. So ist das hier, denn man hat nur noch eine Seite. Man könnte genau auch einfach sagen, man hat zwei Karten, auf der Rückseite der einen ist ein x, auf der anderen nicht. Würdest du hier auch behaupten, dass du mit einer Wahrscheinlich von 66% die Karte ohne x ziehst?

Man könnte es auch so sehen: Mit 50% Chance zieht man die gleichfarbige Karte. Mit wieder 50% Chance hat man vorher entweder die eine oder die andere Seite gesehen, mit dem Multiplikationsgesetz ergibt sich also 25% Chance für jedes Ereignis.

[Genussmagier]

So jetzt ist aber mal wieder gut hier.
Vllt. schreibt Meisterjäger morgen, was sein Lehrer dazu gesagt hat, dann wird es geklärt sein, ich glaube, die Diskussion führt hier zu nichts mehr, wir sind alle stur und kommen keinen Meter weiter

[Merdon]

Nein...ihr begeht einen haarsträubenden Fehler. Wir haben zwei Karten, eine ist beidseitig rot und die andere eben nicht. Dabei ist es egal, ob man von der einen Karte die eine oder andere Seite sieht. Karte bleibt Karte. Es wäre so, als würdet ihr von beiden Karten blind eine ziehen, bei einer Karte hast du gewonnen, bei der anderen nicht. So ist das hier, denn man hat nur noch eine Seite. Man könnte genau auch einfach sagen, man hat zwei Karten, auf der Rückseite der einen ist ein x, auf der anderen nicht. Würdest du hier auch behaupten, dass du mit einer Wahrscheinlich von 66% die Karte ohne x ziehst?

Man könnte es auch so sehen: Mit 50% Chance zieht man die gleichfarbige Karte. Mit wieder 50% Chance hat man vorher entweder die eine oder die andere Seite gesehen, mit dem Multiplikationsgesetz ergibt sich also 25% Chance für jedes Ereignis.

Die Wahrscheinlichkeit, dass du die RR-Karte ziehst ist gleich der RS-Karte. Nur zeigt die RR-Karte zu 100% eine Rote Oberseite, die RS-Karte nur zu 50%, da eine Seite Rot und die andere Schwarz ist. Und wenn die Schwarze Oberseite zu sehen ist, ist der Fall uninteressant.

Es wird also zu 1/3 die RR-Karte gezogen und sie erfüllt zu 100% die Vorraussetzungen -> 1/3
Und zu 1/3 wird die RS-Karte gezogen, sie erfüllt zu 50% die Vorrausetzungen -> 1/6

Und damit ist wohl der Fall der RR-Karte doppelt so häufig wie der der RS-Karte.


Und mir kannst du ruhig vertrauen, ich nehme an, dass du noch nie Wahrscheinlichkeitsrechnung hattest und damit die Aufgabe nicht wirklich lösen kannst.



Edit: Immer schreibt wer was, wenn ich grad nen längeren Post verfasse :/

[Malak]

Die Wahrscheinlichkeit, dass du die RR-Karte ziehst ist gleich der RS-Karte. Nur zeigt die RR-Karte zu 100% eine Rote Oberseite, die RS-Karte nur zu 50%, da eine Seite Rot und die andere Schwarz ist. Und wenn die Schwarze Oberseite zu sehen ist, ist der Fall uninteressant.

Es wird also zu 1/3 die RR-Karte gezogen und sie erfüllt zu 100% die Vorraussetzungen -> 1/3
Und zu 1/3 wird die RS-Karte gezogen, sie erfüllt zu 50% die Vorrausetzungen -> 1/6

Und damit ist wohl der Fall der RR-Karte doppelt so häufig wie der der RS-Karte.


Und mir kannst du ruhig vertrauen, ich nehme an, dass du noch nie Wahrscheinlichkeitsrechnung hattest und damit die Aufgabe nicht wirklich lösen kannst.



Edit: Immer schreibt wer was, wenn ich grad nen längeren Post verfasse :/

Aber wie du schon sagst, wenn die RS-Karte schwarz zeigt, so ist der Fall uninteressant. Wenn sie aber rot zeigt - und das ist der Fall, wenn man zwei rote obere Seiten sieht - ist die Chance 50%. Denn es sind einfach nur 2 Karten, die gleichberechtigt nebeneinander stehen. Du machst den Fehler, Seite1-RR und Seite 2-RR gleichberechtigt neben RS zu sehen. Das ist eben nicht der Fall. Ein zugehöriges Baumdiagramm würde so aussehen, dass du entweder RS oder RR ziehst - wenn du RR ziehst, könnte man das Baumdiagramm dahingegen erweitern, dass man bei RR mit jeweils 50%iger Chance vorher Seite 1 oder Seite 2 gesehen hat. Laut Pfadregel ergibt das dann jeweils 25% Wahrscheinlichkeit für RR-Seite1 und RR-Seite2. So siehts aus.

Recht hättest du, wenn die Bedingung lauten würde: "Bevor ich die Karten jetzt dorthinein werfe, wette ich, dass die Unterseite einer von dir gezogenen Karten diesselbe Farbe zeigt, wie die obere Seite. Du darfst nur Karten ziehen, die du mit der roten Seite siehst". Dann hättes du recht. Denn dann hätte man in erster Instanz (zeigt die RS-Karte rot oder schwarz) 50% Chance zu verlieren (wenn sie schwarz zeigt man hat verloren, weil die Übrige nur noch die RR-Karte sein kann) und 50% Chance in die nächste Runde zu kommen, wo wieder 50-50 wäre. Aber auch da wäre 2/3 falsch - da wären es dann 3/4.

[Merdon]

Du stehst gehörig auf dem Schlauch.

Wenn du im Baumdiagramm bei der RS-Karte 50% aufträgst, dann musst du auch auf die weiteren Äste 50% Rot und 50% Schwarz schreiben und nicht 100% Rot, denn dies ist nicht der Fall. Der Fall Schwarz ist zwar nicht interessant, aber deswegen hört er nicht auf zu existieren.

[Malak]

Du stehst gehörig auf dem Schlauch.

Wenn du im Baumdiagramm bei der RS-Karte 50% aufträgst, dann musst du auch auf die weiteren Äste 50% Rot und 50% Schwarz schreiben und nicht 100% Rot, denn dies ist nicht der Fall. Der Fall Schwarz ist zwar nicht interessant, aber deswegen hört er nicht auf zu existieren.

Die Wette interessiert doch aber nur, wenn die Oberseite rot, so steht es in der Aufgabe geschrieben. Darum geht es. Wenn die gezogene Karte schwarz zeigt, wird gar nicht gewettet. Es steht da, dass die gezogene Karte rot zeigt. Damit scheidet die SS-Karte aus. Man hat entweder die RS oder RR-Karte gezogen, beide mit gleichberechtigter Wahrscheinlichkeit.

[Merdon]

Die Wette interessiert doch aber nur, wenn die Oberseite rot, so steht es in der Aufgabe geschrieben. Darum geht es. Wenn die gezogene Karte schwarz zeigt, wird gar nicht gewettet. Es steht da, dass die gezogene Karte rot zeigt. Damit scheidet die SS-Karte aus. Man hat entweder die RS oder RR-Karte gezogen, beide mit gleichberechtigter Wahrscheinlichkeit.

Nein. Wenn du die Seiten der RS und RR Karten nummerierst, siehst du es.

Seite 1 RR(R): Nummer 1
Seite 2 RR(R): Nummer 2
Seite 1 RS(R): Nummer 3
Seite 2 RS(S): Nummer 4

Diese Seiten sind alle gleichberechtigt. Stimmst du mir noch zu?

Wann wird gewettet? Wenn Nummer 1, 2 oder 3 offen liegt, bei Nummer 4 trifft die Vorraussetzung nicht ein. Stimmst du mir immer noch zu?

Und da die Seiten vorher gleichberechtigt waren sind sie es auch immernoch, wie sollte es anderes sein, also sind Nummer 1, 2 und 3 gleichberechtigt. Zum 3., stimmst du mir zu?

So, jetzt gibt es 3 gleichberechtigte Fälle. In 2 davon ist Rot die Gegenseite, in einem Schwarz. Damit ist zu 2/3 Rot auf der Rückseite. q.e.d.

[Malak]

Nein. Wenn du die Seiten der RS und RR Karten nummerierst, siehst du es.

Seite 1 RR(R): Nummer 1
Seite 2 RR(R): Nummer 2
Seite 1 RS(R): Nummer 3
Seite 2 RS(S): Nummer 4

Diese Seiten sind alle gleichberechtigt. Stimmst du mir noch zu?

Wann wird gewettet? Wenn Nummer 1, 2 oder 3 offen liegt, bei Nummer 4 trifft die Vorraussetzung nicht ein. Stimmst du mir immer noch zu?

Und da die Seiten vorher gleichberechtigt waren sind sie es auch immernoch, wie sollte es anderes sein, also sind Nummer 1, 2 und 3 gleichberechtigt. Zum 3., stimmst du mir zu?

So, jetzt gibt es 3 gleichberechtigte Fälle. In 2 davon ist Rot die Gegenseite, in einem Schwarz. Damit ist zu 2/3 Rot auf der Rückseite. q.e.d.

Ab hier nicht mehr. Ursprünglich sind die Karten gleichberechtigt, man hat 50% die Eine und wiederum die Andere zu ziehen. Im Baumdiagramm haben wir also in erster Instanz 50-50, in zweiter jeweils auch, zusammen also 25% für jede. Allerdings fällt die Möglichkeit schwarr komplett raus, weil sie überhaupt nicht relevant ist. Es wird also davon ausgegangen, dass die RS-Karte rot zeigt, tut sie es nämlich nicht, wird die Sache einfach wiederholt und so getan, als hätte es diese Ziehung nie ergeben. Ergo ist die Wahrscheinlichkeit 100%, dass die RS-Karte rot zeigt, da dies dadurch erzwungen wird, dass man das ganze solange durchführt, bis man zwei rote Seiten sieht.

Du machst den Fehler, die Seiten grundlegend als gleichberechtigt zu sehen - das sind sie aber nur solange, wie jede Karte diesselbe Anzahl von Seiten hat. Dies ist hier nicht mehr der Fall, da schwarz bei RS einfach ignoriert wird.

[Merdon]

Jetzt verharr nich so auf deiner Meinung...


1/4 Seite 1 RR(R): Nummer 1 -> Rot
1/4 Seite 2 RR(R): Nummer 2 -> Rot
1/4 Seite 1 RS(R): Nummer 3 -> Schwarz
1/4 Seite 2 RS(S): Nummer 4 -> Neue Ziehung

So siehts aus. Und damit ist Rot doppelt so häufig wie Schwarz.

[ojas]

BTW: Hast du Geld? Können wir uns vielleicht mal treffen?

@Thoronador: Das war nicht ernst gemeint. Ich suche Gegner, keine Opfer.