[VitaVus]

Ich brauche Hilfe bei einer Aufgabe. Ich habe wohl die Extremalbedingung gefunden, weiß aber nicht mehr weiter, da ich irgendwie nicht auf die Nebenbedingungen komme, da auch keine Funktion angegeben ist wie in den Aufgaben die wir zuvor gerechnet haben. Der Ansatz ist aber vorhanden.

"Bei einer rechteckigen Glasplatte ist eine Ecke abgebrochen. Aus dem Rest soll eine rechteckige Scheibe mit möglichst großem Inhalt herausgeschnitten werden."

[Bild: Aufgabe.png]

Rote Sachen waren schon eingezeichnet, alles Schwarze kommt dann noch von mir dazu, weiß nicht was man davon gebrauchen kann.

Weiß einer wie ich da weiter vorgehen kann?

[Malak]

Na ja, Hauptbedingung ist ja:
A maximal, A=a*b

Die Nebenbedingung muss jetzt irgendwie auch die Variablen a und b erhalten, um durch ein Gleichungssystem nur noch eine Variable zu haben. Das größtmögliche Rechteck kann nur möglich sein, wenn man bis zur Ecke geht...heißt, du kannst die Seite b als Funktion von a beschreiben, also f(a). a, also was eigentlich in einer Funktion x ist, ist dann real das, was dort schon als x gekennzeichnet wird. Die Seite a bekommst du dann raus, indem du x von 80 abziehst. Das geht deshalb: Du könntest die beiden Seiten des Gesamtrechteckes ja auch als Koordinatensystem sehen. Und die abgeschnitte Ecke stellt dann eine lineare Funktion auf, die die Grenze des auszuschneidenden Rechteckes darstellt. Einfach ausgedrückt ist die Nebenbedingung, dass die Maße die Ecke nicht überschreiten dürfen...das muss aber erst mathematisch ausgedrückt werden, also...

Stellen wir erstmal die Gleichung der Ecke auf:
Beginnt bei 30, also ist n dreißig. 20 nach rechts, dreißig nachoben, also ist die Steigung 1,5:

b=1,5x+30

Jetzt siehst du, dass die ganze Platte 80cm lang ist. Die Seite a des auszuschneidenden Rechteckes ist also: a=80-x. Nach x umstellen:
x=80-a

Das jetzt in die obere Gleichung einsetzen:

b=1,5*(80-a)+30
b=150-1,5a

Und das ist jetzt die Nebenbedingung. Also letztendlich eine Funktion, weil die Nebenbedingung ja ist, dass die Maße nicht über die Ecke ragen dürfen und durch Vergrößerung von b zwangsläufig a kleiner werden muss, was durch die Funktion ausgedrückt wird.

Jetzt nur noch Einsetzen, also:

A=a*(150-1,5a)
A=-1,5a²+150a

Und jetzt einfach beide Nullstellen schnell ausrechnen und den a-Wert, bei dem A maximal ist, dadurch ablesen, dass du schaust, wo die Mitte beider Nullstellen liegt...aber das kannst du sicherlich.

edit: Irgendwas habe ich da falsch gemacht...liegt vielleicht daran, dass es schon so spät bin...ich schau morgen nochmal. Es darf mich natürlich auch gerne wer anders korrigieren.
Sehe jetzt auch das Problem...irgendwie müsste ich noch einbringen, dass b nicht größer als 60 sein darf...aber keine Ahnung, wie.

[Satans Krümelmonster]

Du hast doch alles richtig gemacht...
Also Lösung für a kommt 50 raus.
Nur liegt das nicht mehr auf der Scheibe, sodass du den bestmöglichen Punkt auf der Scheibe suchen musst.
Sprich welcher Wert, der definiert ist, ist am dichtesten an 50 dran.
Als Lösung käme hier 60 raus...
(Man muss a größer werden lassen, damit es überhaupt definiert sein kann. und 60 ist der erste Definierte Punkt )

[Malak]

Stimmt, habe nicht bedacht, dass a auch mindestens 60cm lang sein muss, da das Rechteck sonst nicht bis zur Ecke reichen würde (also theoretisch schon, allerdinds ist die Platte an der Stelle ja schon längst zuende, wo die Seite die lineare Funktion theoretisch treffen würde...).

Und da die y-Werte nach links und nach rechts natürlich bei einer Parabel kontinuierlich kleiner werden, ist das logischerweise der erste definierte Wert der Größte...

Darauf wäre ich ohne deinen Tipp wohl nicht gekommen, weil in der Schule hatten wir bis jetzt nur solche Aufgaben, wo das dann immer beim Scheitelpunkt war
Aber stimmt natürlich, man kann natürlich mit der quadratischen Funktion auch einfach den größten Wert ablesen, wenn es irgendwelche Einschränkungen im Definitionsbereich gibt...

[Satans Krümelmonster]

Darauf wäre ich ohne deinen Tipp wohl nicht gekommen, weil in der Schule hatten wir bis jetzt nur solche Aufgaben, wo das dann immer beim Scheitelpunkt war
Aber stimmt natürlich, man kann natürlich mit der quadratischen Funktion auch einfach den größten Wert ablesen, wenn es irgendwelche Einschränkungen im Definitionsbereich gibt...

in meinem mathebuch steht zu diesem thema: "randextrema beachten!" und das in fett und ganz groß
sind auch ein paar aufgaben drin, bei denen das gefragt ist.

achja: deine formulierung "...wo die Mitte beider Nullstellen liegt..." ist ein wenig unglücklich.
was machst du, wenn du eine funktion 3. grades mit 3 nullstellen hast? ;p

[VitaVus]

Erst einmal vielen Dank, damit sollte ich etwas anfangen können, wenn ich morgen Zeit habe werde ich das mal in Ruhe durcharbeiten.
Aber Satan hat da nicht Unrecht mit "Randextrema beachten!". Hatten wir letztens eine Aufgabe wo das Rechteck unter einer Parabel möglichst groß werden soll, aber es war nicht das Maxima sondern der Randbereich, weil die Ableitung nur Bereiche abdecken kann, oder so ... .
Sollte ich noch Fragen haben werde ich mich melden, erscheint mir aber sehr einleuchtend, hätte es schwerer erwartet.

[Malak]

in meinem mathebuch steht zu diesem thema: "randextrema beachten!" und das in fett und ganz groß
sind auch ein paar aufgaben drin, bei denen das gefragt ist.

achja: deine formulierung "...wo die Mitte beider Nullstellen liegt..." ist ein wenig unglücklich.
was machst du, wenn du eine funktion 3. grades mit 3 nullstellen hast? ;p

Ich rede ja auch nur von quadratischen Funktionen. Von Kubischen habe ich keine Ahnung.

[VitaVus]

Irgendwie komme ich nicht weiter. Die Funktion ist also die Höhe, das b also, denn der X-Wert bestimmt den Y-Wert der Funktion, also in diesem Fall die Höhe. Funktion haben wir. X ist also die gesamte Strecke und a ist dann 80 - x. Und am Ende haben wir dann 50 raus, doch was ist diese Zahl? Der X-Wert der Funktion? Und warum kann das nicht stimmen, die Strecke ich doch 80 cm? Wir haben das glaube ich auch immer anders unterteilt. Das was du Nebenbedinung genannt hast ist wohl die Zielfunktion, Nebenbedingung wäre dann nur die Funktionsgleichung, oder?


Zudem habe ich weitere Probleme bei einer anderen Aufgabe.

[Bild: d8zsrqoht2wk.png]
(50 Meter bezieht sich auf das komplette Stück CA)

Eine Rohrleitung soll von A nach B verlegt werden. Die Verlegekosten betragen entlang der Straße 300€ pro Meter und über die Straße 500€ pro Meter.
a) Bestimmen Sie den Punkt D so, dass die Kosten der Verlegung von A über D nach B möglichst gering werden (nur notwendige Bedingung).
b) Vergleichen Sie die minimalen Kosten mit den Kosten bei geradliniger Verlegung von A nach B bzw. von A über C nach B.

b) habe ich schon die grundlegenden Sachen gemacht, AB ist 50,99 Meter, die Kosten also 25.495,10€
ACB ist 50 * 300 + 10 * 500 = 20.000€
Funktion von AB ist f(x) = -(1/5)x + 10
Doch wieder komme ich an der Stelle, bei der Nebenbedingung nicht weiter.

[Satans Krümelmonster]

Alsooo:
(x ist bei mir der Abstand zwischen C und D. Außerdem lasse ich die Einheiten weg.)
Erstmal berechnen wir den Kostenanteil für die Straße:
Der ist (50-x)*300
- klar: das Teilstück ist die 50m minus dem Stück, ab welchem quer gelegt wird.
Und das quere Stück kann man einfach mit dem Pythagoras berechnen:
sqrt(100+x²)
und das nimmt man mit dem 500€/m mal:
sqrt(100+x²)*500

Und jetzt addieren wir die Kosten zur Zielfunktion:

f(x)=15000-300x+sqrt(100+x²)*500

Un jetzt musst du nurnoch den Tiefpunkt suchen:

1.: Ableiten:
[Bild: ableitungM28VS.gif]
(Zur besseren veranschaulichung als Bild)

Und dann suchst du die Nullstelle:

0=500x/sqrt(100+x²)-300       |+300 |*sqrt(100+x²)
300*sqrt(100+x²)=500x         |²
300²(100+x²)=500²x²           |/300²
100+x²=25/9*x²                |-x²
100=16/9*x²                   |*9/16
225/4=x²                      |sqrt()
x=7,5

Ich denke, den Rest bekommst du selbst hin

[Domingo]

Ich würde:

f(x) = (50-x)*300 + Wurzel(10²+x²)*500

vorschlagen. x ist der Abstand von D zum Ursprung. Der rote Abschnitt bezieht sich auf den Teil entlang der Straße (50-x ist die Entfernung des Punktes D zum Punkt A), während der blaue den Teil beschreibt, der über die Straße geht (Länge mit dem Pythagoras in Abhängigkeit von x berechnet).
Zu guter letzt einfach Ableiten und nach Tiefpunkten suchen, fertig.

EDIT:
Mist, zu langsam. -.-

EDIT2:
Habe noch was beim blauen Abschnitt vergessen, wurde korrigiert.

[VitaVus]

Vielen Dank an euch beide . Wesentlich einfacher als ich dachte und durchaus verständlich.
Aber wieder bei mir das selbe Problem, auch in den Klausuren. Es scheitert immer am Ansatz, an der Idee bei manchen Aufgaben.