[Malak]

Hi,
irgendwie hat diese Aufgabe für viele in der Klasse, auch bei mir, einige Zeit für mehr Schwierigkeiten und Verwirrung gesorgt, als sie auf den ersten Blick denkt - wahrscheinlich, weil hier irgendwie physikalische und mathematische Exaktheit hier mit menschlicher Logik konkurrieren, zumindest was das simulieren einer derartigen Situation im Kopf angeht.

Aufgabe:
Ein Junge lässt sich in einem Schwimmbad einfach senkrecht vom Sprungbrett ins Wasser fallen. Ein Mädchen hingegen springt mit voller Kraft waagerecht vom Brett ab. Wer kommt zuerst im Wasser an?

So, die meisten meinten das Mädchen, weil sie den längeren Weg, Luftwiderstand (Letzter könnte schon stimmen, aber soll, laut Lehrerin, hier vernachlässigt werden. Der dürfte imo hier eh nicht soooo zum Tragen kommen).

So, aber ich denke, die Lösung ist einfacher als gedacht, habe mich schon selber geschlagen würde meine Dummheit^^:

Weg für senkrechter Wurf nach unten:
y=-v0*(t1)-g/2*(t1)²
-->v0=0 m/s, da er sich nur fallen lässt, also folgt:

y=-g/2*(t1)²

Ortszeit-Gesetz für den waagerechten Wurd:

y=-g/2*(t2)²

Ab hier wird es dann schon offensichtlich, aber führen wir das alle zum direkten Beweis weiter...

--> t1=srqt(2y/-g)
--> t2=srqt(2y/-g)

y und g ist bei beiden gleich, daher kann man die Eine in die Andere einsetzen...

t1=t2

Ich bin einfach irgendwann darauf gekommen, da man beim Orts-zeit-Gesetz bei waagerechten Bewegungen schon sieht, dass die Fallzeit gänzlich unabhängig von der Startgeschwindigkeit ist.

Warum eigentlich? Das habe ich mich gefragt, gehört zwar nicht zur Aufgabe, ich bin aber neugierig...wollte mal fragen, ob da meine Erklärung bzw. Veranschaulichung soweit korrekt ist:

Die Funktionsgleichung der Wurfparabel beim waagerechten Wurf lautet:
y=-(g/2*v0²)*x²
So, hier sieht man: Da g festgelegt ist, ist a nur abhängig von der Startgeschwindigkeit. a dann die STeigung der Parabel an, diese widerum den Weg. Heißt: Umso mehr man v0 an 0 annähert, desto größer wird folglich a. Die Parabel ist stark gestreckt. Ob kleiner v0 also ist, desto geringer ist der Geschwindigkeitsunterschied zu einem äquivalenten senkrechten Wurf (musste ich bei einer anderen Aufgabe herausfinden: v1+v0=v2 für eine senkrechte Bewegung und einer waagerechten Bewegung bei gleicher Fallzeit, ist ja nicht schwer.), aber desto geriniger ist auch der Unterschied des Weges, den die Körper zurück legen muss. Die Parabel würde sich also nach und nach optisch einer Senkrechten angleichen. Umgekehrt dasselbe: Ist die Startgeschwindigkeit extrem hoch, ist a klein, die Parabel ist stark gestaucht und der Körper und dafür einen deutlich längeren Weg zurücklegen. Und da a eben NUR von v0 abhängig ist (außer man wechselt den Ort in Form eines Planeten^^) müsste sich dies dann eben wieder so ausgleichen, dass die Zeit, die gebraucht wird, um den Boden zu erreichen, unabhängig von der Startgeschwindigkeit ist. Bestes Beispiel Pistolenkugel: Zwar superschnell, aber hätte man hypothetisch wirklich eine Fläche GANZ OHNE Hindernisse würde die Kugel dennoch einige Zeit brauchen, bis sie den Boden erreicht. Demnach müsste doch gelten:

t(waagerechter Wurf)=t(senkrechter Wurf mit v0=0)

Oder? Würde aber bedeuten, dass jeder senkrechter Wurf MIT einer Startgeschwindigkeit in gleicher Zeit wie ein beliebiger waagerechten Wurf eine größere Höhendifferenz zurücklegen würde, oder? (natürlich unter Idealbedingungen Vakuum etc. Wir wollen mal nicht pingelig sein, bezieht also nur auf die Theorie, meine Frage^^).


Ach ja, noch eine kleiner Frage:

Im Tafelwerk steht für senkrechter Wurf ja:

v=-v0*-g*t
Aber wieso Minus? So bekomme ich am Ende doch eine negative Geschwindigkeit heraus...bei y kann ich das Minus noch verstehen, im Koordinatensystem befindet beim waagerechten Wurf z.b. die Wurfparabel im 4. Quadranten und da nach unten geöffnet, was durch logischen Prinzipien sein muss, muss mathematisch a eben auch negativ sein. Außerdem ist es bei Höhen ja recht üblich mit negativen Höhen zu rechnen. Bei einer anderen Aufgabe mit einem 50m Turm habe ich für y dann auch einfach -50m eingesetzt. Aber wieso bei v? Kann ich auch einfach v=v0+g*t nehmen? Ergebt sich ja auch so für die zusammengesetzte Bewegung v=v1+v2

[Zephir]

Äh, hab deine Ausführungen jetzt nur überflogen, sieht mir ein wenig zu kompliziert gedacht aus.

Die Geschwindigkeit besteht aus zwei Komponenten, der senkrechten und der waagerechten Komponente (Vektoraddition der beiden ergibt dann den Geschwindigkeitsvektor). Beide sind völlig unabhängig voneinander, mit welcher Geschwindigkeit das Mädchen also in der Horizontalen loslegt, ist für die Fallzeit völlig unerheblich.
Die Geschwindigkeit ändert sich ja nur, wenn eine Kraft auf den Körper wirkt - in diesem Fall wirkt aber nur eine einzige Kraft, und das ist die Erdanziehung, und die wirkt eben genau senkrecht. Da bei beiden Personen die senkrechte Komponente zu Beginn Null ist und auf beide dieselbe Kraft wirkt, kommen beide gleichzeitig unten an.

Das Minus in der Formel ergibt sich aus der Richtung, in die die Erdbeschleunigung wirkt - nämlich nach unten, während die y-Achse im Koordinatensystem nach oben ausgerichtet ist.
Beim Wurf mit positiver Geschwindigkeit (also nach oben), bewirkt dieser Einfluss, dass die Geschwindigkeit immer geringer (bis Null) wird - das Objekt stoppt seinen Aufsteig - und dann ins Negative wächst - das Objekt fällt immer schneller nach unten. Eine negative Geschwindigkeit zeigt also entgegen der Ausrichtung der Achse, in dem Fall nach unten.

[walljumper]

Orthogonale Bewegungen sind immer voneinander unabhängig. Da wir uns in einem 3 dimensionalen Raum befinden, gibt es genau 3 unabhängige Bewegungsrichtungen.

[Malak]

Äh, hab deine Ausführungen jetzt nur überflogen, sieht mir ein wenig zu kompliziert gedacht aus.

Die Geschwindigkeit besteht aus zwei Komponenten, der senkrechten und der waagerechten Komponente (Vektoraddition der beiden ergibt dann den Geschwindigkeitsvektor). Beide sind völlig unabhängig voneinander, mit welcher Geschwindigkeit das Mädchen also in der Horizontalen loslegt, ist für die Fallzeit völlig unerheblich.
Die Geschwindigkeit ändert sich ja nur, wenn eine Kraft auf den Körper wirkt - in diesem Fall wirkt aber nur eine einzige Kraft, und das ist die Erdanziehung, und die wirkt eben genau senkrecht. Da bei beiden Personen die senkrechte Komponente zu Beginn Null ist und auf beide dieselbe Kraft wirkt, kommen beide gleichzeitig unten an.

Das Minus in der Formel ergibt sich aus der Richtung, in die die Erdbeschleunigung wirkt - nämlich nach unten, während die y-Achse im Koordinatensystem nach oben ausgerichtet ist.
Beim Wurf mit positiver Geschwindigkeit (also nach oben), bewirkt dieser Einfluss, dass die Geschwindigkeit immer geringer (bis Null) wird - das Objekt stoppt seinen Aufsteig - und dann ins Negative wächst - das Objekt fällt immer schneller nach unten. Eine negative Geschwindigkeit zeigt also entgegen der Ausrichtung der Achse, in dem Fall nach unten.

Ja, ich weiß, steht ja auch in den Formeln. Meine Ausführungen waren quasi einer Art logische Erklärung, die das nochmal verdeutlicht. Denn bei so einer Wurfparabel denkt man ja vermutlich erstmal fälschlicherweise, der mit dem waagerechten Wurf müsste später ankommen, da dort eben die Parabel der "tatsächliche zurückgelegte Weg" ist. Wenn du in Wirklichkeit von so einem Brett waagerechet abspringst, fliegst du ja auch nicht erst einem Meter nach vorne, "fährst" dann magischerweise plötzlich einen Meter runter usw., sondern die Parabel ist dein Weg, sozusagen. Ich wollte damit eher den Denkfehler ausräumen. Denn wenn der Weg wirklich soviel länger ist, dann ist eben auch die Startgeschwindigkeit groß, damit überwindet das Objekt schnell die Strecke x in der Waagerechten, an dessen Ende sich auch schon der Boden befindet, da gleichtzeitig auch Weg in der Horizontalen zurückgelegt hat. Die Formeln weiß ich ja schon...

Aber dann müsste doch stimmen, dass jede senkrechte Bewegung nach unten mit Startgeschwindigkeit in seiner Bewegung schneller ist als jede waagerechte Bewegung in seinem horizontalen Bewegungsanteil, oder?

[Zephir]

horizontal = waagerecht

Aber dann müsste doch stimmen, dass jede senkrechte Bewegung nach unten mit Startgeschwindigkeit in seiner Bewegung schneller ist als jede waagerechte Bewegung in seinem horizontalen Bewegungsanteil, oder?

Äh, ja, wenn ich die Frage richtig verstanden habe, was vermutlich nicht der Fall ist. Wenn ich einem Objekt eine Startgeschwindigkeit nach unten mitgebe, bewegt es sich natürlich schneller nach unten als eins, das bei v0y = 0 anfängt.

Die horizontale Geschwindigkeit ändert sich überhaupt nicht, die bleibt konstant, nur die vertikale Bewegung wird von der Erdanziehung beeinflusst. Gäbe es die nicht, würde sich ein Objekt bis in alle Ewigkeit mit derselben Geschwindigkeit in dieselbe Richtung bewegen.

[Malak]

horizontal = waagerecht
Äh, ja, wenn ich die Frage richtig verstanden habe, was vermutlich nicht der Fall ist. Wenn ich einem Objekt eine Startgeschwindigkeit nach unten mitgebe, bewegt es sich natürlich schneller nach unten als eins, das bei v0y = 0 anfängt.

Die horizontale Geschwindigkeit ändert sich überhaupt nicht, die bleibt konstant, nur die vertikale Bewegung wird von der Erdanziehung beeinflusst. Gäbe es die nicht, würde sich ein Objekt bis in alle Ewigkeit mit derselben Geschwindigkeit in dieselbe Richtung bewegen.

Oh ja, öh, dann meine ich mit horizontal eben Vertikal oO

Na, die Frage war etwas anders gemacht:

Wenn das so ist, dann müsste jede waagerechte Wurfbewegung, da die ja nur eine Startgeschwindigkeit in die Waagerechte, nicht aber in die Vertikale haben, geringe Geschwindigkeit im Fall haben (Fall bedeutet hierbei eben in die Vertikale, da das ja der "fallende Teil" der Bewegung ist, da ein Objekt so zu Boden geht). Heißt, ein Objekt, welchen man direkt nach unten wirft (also nicht nur fallen lässt) müsste stets schneller zu Boden fallen, als ein Objekt, das man waagerecht nach vorne wirft.

[Zephir]

Ja, so ist es, dann hab ich deine Frage doch durchaus richtig verstanden. Da die Startgeschwindigkeit in der Waagerechten für die Geschwindigkeit in der Senkrechten belanglos ist, ist für die Fallzeit ausschließlich Startgeschwindigkeit in der Senkrechten und Kraftwirkung in der Senkrechten entscheidend. Da für alle Körper die wirkende Kraft dieselbe ist, wird der Unterschied einzig von der Startgeschwindigkeit in der Senkrechten abhängen.
Genau das sagt ja letztlich auch deine Formel aus: v=-v0*-g*t

Wenn du einen Körper nach unten wirfst, ist der eher da als ein Körper, den du fallen lässt, und dieser wiederum wird schneller auftreffen als ein Körper, der nach oben geworfen wird. Eigentlich auch recht gut anschaulich vorstellbar.

[Proviant]

Kennt ihr schon den Begriff der 'konservativen' Kräfte? Da kommt es nicht auf den Weg an. Ob dann jemand zuerst zum Zielpunkt horizontal fliegt und dann senkrecht fällt, macht das gleiche, als würde er diagonal auf das Ziel zusteuern. Damit klammert man die Frage nach Wurf und Co aus.

In Formel heißt das: F*s*cos â, wobei F die Kraft, s die Strecke und Cos â der Winkel zwischen den beiden Strecken ist.

Fges = HorFormel * SenkFormel = Fh*s*cos â + Fs*s*cos ô; Fürs Horizontale setzt man 90° ein und damit wird die Formel alleinig durch das Senkrechte gerechnet, weil ja die in Horizontale ja 0 ist. Dann noch Fh = mg und so weiter ^^

Ja, meine Erinnerungen sind etwas dunkel....

[Malak]

Ja, so ist es, dann hab ich deine Frage doch durchaus richtig verstanden. Da die Startgeschwindigkeit in der Waagerechten für die Geschwindigkeit in der Senkrechten belanglos ist, ist für die Fallzeit ausschließlich Startgeschwindigkeit in der Senkrechten und Kraftwirkung in der Senkrechten entscheidend. Da für alle Körper die wirkende Kraft dieselbe ist, wird der Unterschied einzig von der Startgeschwindigkeit in der Senkrechten abhängen.
Genau das sagt ja letztlich auch deine Formel aus: v=-v0*-g*t

Wenn du einen Körper nach unten wirfst, ist der eher da als ein Körper, den du fallen lässt, und dieser wiederum wird schneller auftreffen als ein Körper, der nach oben geworfen wird. Eigentlich auch recht gut anschaulich vorstellbar.

Aber ein waagerechter Wurf kann doch kein Startgeschwindigkeit in der Senkrechten haben, oder? Hört sich bei dir zumindest so an.

Wie schon gesagt, habe es ja verstanden, hier konkurriert nur un Logik und Exaktheit ein bisschen. Zumindest denkt man imo als Erstes, dass der waagerechte Springer später aufkommen muss. Kommt, wenn ich jetzt so denke, wahrscheinlich daher, dass von einem Sprungbrett eh nicht genau waagerecht abspringen kann, sodass es in der Realität wohl doch ein schräger Wurf wäre und das Mädchen etwas später aufkommt.

Meine "Erklärung" im ersten Post sollte nur ein Veranschaulichung sein, da dieses Gesetz ja bedeuten muss, dass ein Stein, der nach unten gefallen lassen wird, genauso schnell zu Boden gehen müsste, wie ein Stein, der mit voller Kraft nach waagerecht nach vorne geworfen wird. Hier auf der Erde wäre das vermutlich sogar so, hat dann wohl aber eher etwas mit der Luft zu tun. Denn in der Realität ist es nunmal so, dass die Wurfparabel die Bahn darstellt und man daher fläschlicherweise denkt: Längere Bahn -> längere Fallzeit. Wobei eben meine Veranschaulichung, wie ich finde, diesen Denkfehler ganz gut ausmerzt. Denn wenn die Bahn wirklich soviel länger als bei einer vergleichbaren senkrechten Wurfbewegung wäre, wäre eben durch v=srqt(v0²+g²*t²) auch die Gesamtgeschwindigkeit auf der Wurfparabel größer. Mehr wollte ich damit nicht erklären, da, für viele, wie ich in meiner Klasse sehe, es einfach recht schwer vorstellbar ist, dass die Geschwindigkeit mit der man fällt unabhängig von der Geschwindigkeit, mit der man vorne "fliegt", ist. Einige kamen sogar mit der skurrilen Begründungen: "Durch die Startgeschwindigkeit überwindet das Mädchen die Schwerkraft ja ein bisschen", vermutlich Folge daraus, dass beim Sprunbrett gleich an einen zumindest leicht schrägen Wurf denkt...

[Zephir]

Aber ein waagerechter Wurf kann doch kein Startgeschwindigkeit in der Senkrechten haben, oder? Hört sich bei dir zumindest so an.

Nein, kann er nicht, so war's auch nicht gemeint. Sonst wäre es ja kein waagerechter Wurf mehr.

Und schon richtig, in der Realität wird man beim Sprung auch immer ein bisschen nach oben abspringen, ein völlig waagerechter Sprung dürfte physiologisch kaum möglich sein.