[Pontius Pilatus]

Teil meines Mathe Spezialgebietes über Elementargeometrische Sätze.

Der Beweis befindet sich in der angehängten Worddatei, da sich das Format mit den Bildern nicht wirklich ins Forum übertragen lies. Außerdem befindet sich im Anhang eine GeoGebra Datei, die den gesamten Sachverhalt dynamisch darstellt, was sowohl für das Verständnis gut ist, als auch zum Präsentieren.

Grundsätzlich sollte alles stimmen, wurde von meinem Professor durchgegangen und für gut befunden.

Feuerbachkreis

Der Feuerbachkreis ist ein Kreis beim Dreieck, der nach Karl Wilhelm Feuerbach benannt wurde, auch wenn er ihn eigentlich erst ein Jahr nach Charles-Julien Brianchon und Jean Victor Poncelet entdeckt hatte.
Auf dem Feuerbachkreis liegen 9 „ausgezeichnete“ Punkte des Dreiecks.
Das sind jeweils die Mittelpunkte, aller drei Seiten, die Fußpunkte der Höhen, also dort wo die Höhe die Seite schneidet und die Mittelpunkte der oberen Höhenabschnitte. Das sind immer die Mittelpunkte der Strecken zwischen dem Höhenschnittpunkt und einer Ecke.
Außerdem hat der Feuerbachkreis noch eine Reihe weiterer wichtiger Eigenschaften.
So liegt zB der Mittelpunkt des Feuerbachkreises genau zwischen Höhenschnittpunkt und Umkreismittelpunkt.
Der Feuerbachkreis berührt den Inkreis und die drei Ankreise.
Der Radius des Feuerbachkreises ist immer halb so groß wie der Umkreisradius eines Dreiecks.
Der Feuerbachkreis halbiert die Strecke zwischen Höhenschnittpunkt und jedem beliebigen Punkt des Umkreises.
Bei einem gleichseitigen Dreieck ist der Feuerbachkreis gleichzeitig der Inkreis.
Bei einem gleichschenkligen Dreieck berührt der Feuerbachkreis die „Basis“seite des Dreicks.
Bei einem rechtwinkligen Dreieck geht der Feuerbachkreis durch den rechtwinkligen Eckpunkt.

Eulersche Gerade

Unter der eulersche Gerade versteht man die Gerade, die durch den Schwerpunkt, den Umkreismittelpunkt und den Höhenschnittpunkt eines Dreiecks geht.
Außerdem liegt der Mittelpunkt des Feuerbachkreises auf der Eulerschen gerade. Der Mittelpunkt stellt gleichzeitig den Mittelpunkt der Strecke zwischen dem Umkreismittelpunkt und dem Höhenschnittpunkt dar.
Die Strecke zwischen Höhenschnittpunkt und Schwerpunkt ist immer doppelt so groß wie die Strecke zwischen Höhenschnittpunkt und Schwerpunkt. Bei einem gleichseitigen Dreieck gibt es keine Eulersche Gerade mehr, da dann der Höhenschnittpunkt, der Umkreismittelpunkt und der Schwerpunkt in einem Punkt zusammenfallen.