[Derion]

Hallo zusammen,

Normalerweise bereiten mir solche Gleichungssysteme mit einem Paramater keine Probleme, aber bei diesem hier komme ich auf keinen grünen Zweig.
"Untersuchen Sie die Lösbarkeit in Abhängigkeit von a!"

 x  +  3y  -  z  =  1
 x  -   y  + 2z  =  1
2x  +  ay  +  z  =  a

Wäre schön, wenn mir jemand helfen könnte.

[walljumper]

erstmal in die Dreiecksform bringen.

 x  +  3y  -  z  =  1
 x  -   y  + 2z  =  1
2x  +  ay  +  z  =  a

x - z + 3y = 1
x + 2z - y = 1
2x + z + ay = a

x - z + 3y = 1
0 + 3z - 4y = 0
2x + z + ay = a

x - z + 3y = 1
0 + 3z - 4y = 0
0 + 3z + (a-6)y = a - 2

x - z + 3y = 1
0 + 3z - 4y = 0
0 + 0 + (a-2)y = a - 2

aus (a-2)y = (a-2)
kann man direkt ablesen, dass die gleichung für a = 2 mehrdeutig lösbar ist, in allen anderen fällen ist y = 1 , z = 3/4 , x = - 5/4


rechne aber lieber nochmal nach, hab das jetzt alles im Kopf überschlagen

[Derion]

Ist wichtig, brauch' das bis spätestens morgen abend!

---

Danke schon einmal dafür, werd's mir gleich noch genauer anschauen. Scheint jedoch korrekt zu sein, zumindest sieht's in meinen Augen danach aus.
/e: Okay, danke.
/e²: Wie war das nochmal? Wenn man für a eine Zahl einsetzen kann, sodass 0 = 0 wird, gibt es mehrere Lösungen? Wenn dadurch z.B. 0 = 1 rauskommen würde, keine?

Jetzt aber noch ein anderes Problem, die Vektorrechnung betreffend:

"Gegeben sind die Punkte A (-2 ; 1 ; 1), B (2 ; -2 ; 0), C (3 ; 3 ; -1).

c) Bestimmen Sie die Länge der Strecke AB (Vektor, weiß nit, wie man den Pfeil hinkriegt) und den Mittelpunkt M der Strecke BC (Vektor)! [Die Länge von AB kein Problem, nur der Mittelpunkt macht mir Probleme]
d) Ergänzen Sie zum Parallelogramm ABCD [Das ist kein Problem; mein D ist (-1 ; 6 ; 0)]
e) Geben Sie einen Punkt E an, so dass das Viereck ABCE ein Trapez, aber kein Parallelogramm ist.

[Mort]

[B]
"Gegeben sind die Punkte A (-2 ; 1 ; 1), B (2 ; -2 ; 0), C (3 ; 3 ; -1).

c) Bestimmen Sie die Länge der Strecke AB (Vektor, weiß nit, wie man den Pfeil hinkriegt) und den Mittelpunkt M der Strecke BC (Vektor)! [Die Länge von AB kein Problem, nur der Mittelpunkt macht mir Probleme]

C kann man durch (2:-2:0)+ 1*BC angeben, also (2:-2:0)+ 1*(1;5;-1)
Den Mittelpunkt der Strecke erhältst du, indem du einfach den Faktor vor dem Richtungsvektor halbierst (hat das Ding nen Namen? Mit Fachsprache hab ichs nicht so)
(2;-2;0)+0,5(1;5;-1) = (2,5;0,5;-0,5)

Insofern ich nicht geschusselt hab, sind das die Koordinaten für M.

e) Geben Sie einen Punkt E an, so dass das Viereck ABCE ein Trapez, aber kein Parallelogramm ist.

Zuerst muss man sich klar machen, was die Merkmale von trapez und Parallelogramm sind.
Trapez: ein gegenüber liegendes Seitenpaar ist parallel zu einander
Parallelogram: beide gegenüber liegenden Seitenpaare sind parallel zu einander

Am schnellsten kommst du, wenn du von deinem ermittelten Punkt ausgehst, der das ganze zu einem Parallelogramm erweitert.
Jetzt verschiebst du den Punkt einfach in die Richtung des Richtungsvektors, den dein paralleles Seitenpaar haben soll. Da es zwei Richtungsvektoren gibt (AB und BC), kannst du D beliebig auf den beiden so aufgestellten Strecken wählen. Um es bildlich zu verdeutlichen, hab ich das mal fix aufgemalt.

[Bild: Trapez.bmp]

Der rote Punkt ist dein ermitteltes D, das ein Parallelogramm erzeugt.
Die grünen Geraden sind die beiden Geraden, auf denen du dein Trapez-D frei wählen kannst. Sie sehen folgendermaßen aus: (-1;6;0)+ t* AB oder (-1;6;0)+ t* BC

Ein D wäre z.B. (-1;6;0)+1*(1;5;-1), also D(0;11;-1)

[Gunslinger]

Hallo zusammen,

Normalerweise bereiten mir solche Gleichungssysteme mit einem Paramater keine Probleme, aber bei diesem hier komme ich auf keinen grünen Zweig.
"Untersuchen Sie die Lösbarkeit in Abhängigkeit von a!"

 x  +  3y  -  z  =  1
 x  -   y  + 2z  =  1
2x  +  ay  +  z  =  a

Wäre schön, wenn mir jemand helfen könnte.

Ich hätte hier noch eine leichtere Lösungsmethode. Du bestimmst die Determinante des Gleichungssystems (also das Spatvolumen, dass die Spaltenvektoren aufspannen).
Das geht einfach mit der Regel von Sarrus oder nach dem Laplace'schen Entwicklungssatz.
Du bekommst dann für die Determinante: D=6-3a
Also wird die Determinante = 0 wenn a=2 ist. Dann sind die Spaltenvektoren linear abhängig und eine Zeile im Gleichungssystem fällt weg. Da du aber einen Lösungsvektor mit drei Komponenten hast: (1 ; 1; a), gibt das einen Widerspruch. 2 Zeilen Gleichungssystem, 3 Zeilen Lösung heisst das Gleichungssystem ist nicht lösbar.
Für alle a ungleich 2 ist das Gleichungssystem lösbar, da die Spaltenvektoren damit unabhängig sind und eine Basis des R^3 bilden (sprich jeder Vektor im R^3 lässt sich durch sie eindeutig ausdrücken).

[Derion]

@Mort: Vielen Dank, jetzt hab' ich's auch endlich begriffen.

@Gunslinger: Okay... das versteh' ich jetzt nicht.
Mir sagen die ganzen Begrifflichkeiten überhaupt nichts und mich da jetzt reinzuarbeiten, zumal wir das sowieso noch nicht behandelt haben, ist mir echt zu viel Arbeit. Aber trotzdem Danke, dass du dir die Mühe gemacht hast.

[Thoronador]

@Derion:
Zu der Sache mit der Determinante gibt es einen einfachen Satz: Ein lineares Gleichungssystem ist eindeutig lösbar, wenn die Determinante der Koeffizientenmatrix ungleich null ist.
Die Koeffizientenmatrix zu

 x  +  3y  -  z  =  1
 x  -   y  + 2z  =  1
2x  +  ay  +  z  =  a

ist

1  3 -1
1 -1  2
2  a  1

(Sieht komisch aus, soll aber eine 3x3-Matrix sein.)
Berechnen kann man diese bei 3x3-Matrizen mit der Regel von Sarrus, wonach man salopp gesagt einfach Hauptdiagonalen minus die Nebendiagonalen rechnet. In dem Fall wäre das:
1*(-1)*1 + 3*2*2 + (-1)+1*a - (-1)+(-1)*2 - 3*1*1 - 1*2*a = 6-3a = det

Falls das mit den Haupt- und Nebendiagonalen nicht gleich klar wird, mal etwas Farbe: unten steht jeweils zweimal die Matrix, nur dass die beiden ersten Spalten der Übersichtlichkeit halber nochmal hinten drangehangen wurden. Dann erklären sich auch die Farben oben:

1  3 -1 | 1 3
1 -1  2 | 1 -1
2  a  1 | 2 a

1  3 -1 | 1 3
1 -1  2 | 1 -1
2  a  1 | 2 a

Einfacher geht es bei Dreiecksmatrizen, und dank walljumper haben wir ja schon eine:

1x - z + 3y = 1
0 + 3z - 4y = 0
0 + 0 + (a-2)y = a - 2

Dort muss man nur die Hauptdiagonalelemente multiplizieren, um die Determinante zu berechnen, sprich man käme hier auf:
1*3*(a-2) = 3a-6 = det
Bis auf das Vorzeichen stimmen die beiden Ergebnisse überein, aber da walljumper bei der Umformung zwei Spalten vertauscht hat, ändert sich das Vorzeichen der Determinante. Allerdings spielt das keine Rollen, wenn man bestimmen möchte, wann die Determinante null ist.


So, genug Farbe für heute.

[Gunslinger]

@Derion:
Zu der Sache mit der Determinante gibt es einen einfachen Satz: Ein lineares Gleichungssystem ist eindeutig lösbar, wenn die Determinante der Koeffizientenmatrix ungleich null ist.

Ja, aber die Frage war nicht, wann das Gleichungssystem eindeutig lösbar ist, sondern wann es keine Lösung besitzt. Die Determinante kann gleich 0 sein und das LGS ist trotzdem lösbar (dann hast du halt unendlich viele Lösungen).
Das wäre zB der Fall, wenn D = 0, aber du einen Lösungsvektor (1; 0; 0) hast.
Jedenfalls glaub ich das, meine Lineare Algebra Vorlesung is schon wieder ein paar Monate her. =)

@Derion: gut wenn ihr noch keine Determinanten hattet ist meine Lösung natürlich sinnlos. Einfach ignorieren. =)

[Thoronador]

Ja, aber die Frage war nicht, wann das Gleichungssystem eindeutig lösbar ist, sondern wann es keine Lösung besitzt. Die Determinante kann gleich 0 sein und das LGS ist trotzdem lösbar (dann hast du halt unendlich viele Lösungen).

Das stimmt natürlich (wenn ich mich nicht irre), allerdings war die Frage allgemein nach der Lösbarkeit des LGS in Abhängigkeit von a, und da bringt die Determinante schon etwas, wenn auch nicht alle Möglichkeiten dadurch abgedeckt werden können. Damit wissen wir zumindest, dass das LGS für alle Werte von a/=2 eindeutig lösbar ist. Bliebe nur noch a=2 zu untersuchen, und da hat walljumper ja schon was gesagt: für a=2 gibt es unendlich viele Lösungen. Da setzt man dann eine der drei Variablen als festen Parameter und rechnet den Spaß aus, wenn man möchte.
Damit wären alle Fälle abgedeckt.