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Cauchy-Folgen Konvergenz

  1. #1 Zitieren
    General Avatar von Lemon
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    Hallo zusammen,

    eine Frage, die mich schon länger beschäftigt: Ich habe ein Problem damit zu akzeptieren, dass jede Cauchy-Folge konvergiert. Für mich ist es nicht anschaulich, dass es ausreicht, dass der Abstand der Folgeglieder beliebig klein wird. Wenn ich mir beispielsweise die Folge der geradzahligen Werte der Logarithmus-Funktion anschaue, dann kann ich den Abstand der Folgeglieder doch auch unter jede Schranke drücken oder? Konvergieren tut der Logarithmus aber nicht

    Bitte um Aufklärung!

    gruß Lemon
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    Lemon ist offline

  2. #2 Zitieren
    Ritter Avatar von Der-Orden-Xar
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    Dann mal hoffen, das ich mehr helfen als verwirren kann
    Zitat Zitat von Lemon Beitrag anzeigen
    Ich habe ein Problem damit zu akzeptieren, dass jede Cauchy-Folge konvergiert.
    Innerhalb der Reellen zahlen gilt sogar Äquivalenz von CF und Konvergenz, im allgemeinen gilt aber nur, dass jede konvergente Folge eine Cauchyfolge ist. Daher nehme ich an, dass du von den reellen Zahlen spricht


    Wenn ich mir beispielsweise die Folge der geradzahligen Werte der Logarithmus-Funktion anschaue, dann kann ich den Abstand der Folgeglieder doch auch unter jede Schranke drücken oder? Konvergieren tut der Logarithmus aber nicht
    Du hast bemerkt, dass log nicht konvergiert, können wir ja mal zeigen (außer über die Äquivalenz), dass log keine CF ist.

    Es gilt zwar d/dx log(x) = 1/x und das geht für x gegen unendlich gegen 0, ABER ...

    Für Cauchy brauchen wir ja, dass für jedes epsilon > 0 es ein n_0 gibt, sodass für alle Zahlen n,m > n_0 der Abstand von log(n) und log(m) kleiner Epsilon ist (wenn gewünscht kann ich das auch noch sauer aufschreiben).

    Es soll für jedes Epsilon > 0 gelten, also sei Epsilon jetzt mal sehr groß, sagen wir 1.
    Nun gilt aber |log(x)-log(y)| = | log(x/y) | für x,y > 0
    Da ich ab einem gewissen Wert ALLE Differenzen der Folgeglieder unter mein epsilon quetschen muss, nehme ich einfach mal x=11y (oder eine beliebige andere geeignete Konstante)
    Dann haben |(log (11y) - log(y)| = log(11y/y) = log(11) > 2 > epsilon (*)
    Damit habe ich sogar für ein großes Epsilon eine Möglichkeit gefunden, den Abstand größer als epsilon zu machen, dann geht das für epsilon "nahe" 0 erst recht.
    Also ist log keine CF.

    (*) Per Wolframalpha ist log(11) ungefähr 2,397895272798370544061943577965129299821706853937417175218



    Ich glaube dein Problem ist hier wirklich die exakte, formale Definition der Cauchyfolge.
    Ich muss ab einem gewissen Punkt n_0 den Abstand zwischen zwei beliebigen Folgegliedern klein bekommen, es reicht nicht das für aufeinander folgende hinzubekommen.
    Für 1/n, das ja bekanntermaßen gegen 0 konvergiert und auch eine CF ist, sieht man z.B., dass man für das eine eine viel bessere Amschäzung abgeben kann, als für das andere (für n>m>n_0 natürliche Zahlen)
    |1/n - 1/(n+1)| < 1/(3n) (gilt, da durch meine Forderung oben n mindestens 3 ist, für n=1 und n=2 gilt die Aussage nicht), ich bekomme den Abstand also sehr klein.
    |1/n-1/m| < 1/m, meine Abschätzung hier ist als viel schwächer, da ich ja m=2 und n "sehr sehr groß" zulassen kann.
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  3. #3 Zitieren
    Deus Avatar von thefilth
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    Nehmen wir mal an, wir haben eine ganz gewöhnliche (reelle) Cauchy-Folge (an). Dann gibt es ja nicht nur für jeden Abstand e ein passendes n(e), sodass alle weiter folgenden Folgenglieder einen Abstand von kleiner e haben, sondern auch umgekehrt, dass es für jedes spezifische n einen minimalen Abstand e(n) gibt, sodass alle folgenden Glieder im Intervall
    ]an-e(n),an+e(n)[
    liegen. e und n hängen auch immer zusammen. Je tiefer wir in die Folge hineingehen, desto kleiner wird der Abstand und damit nähert sich das Intervall immer mehr einem Punkt an, konvergiert also - es liegen ja nur endlich viele (nämliche n-1) Folgenglieder außerhalb des Intervalls und unendlich viele innerhalb.
    Und da wir für die reellen Zahlen ja Vollständigkeit fordern, sind auch alle Grenzwerte von Cauchy-Folgen in der Zahlenmenge enthalten. Bei den rationalen Zahlen wäre das anders, in denen konvergieren Cauchy-Folgen nicht zwingend.
    thefilth ist offline

  4. #4 Zitieren
    General Avatar von Lemon
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    Danke euch beiden, hab es jetzt tatsächlich verstanden!
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