Ergebnis 1 bis 14 von 14

[Mathemathik] Durschnitt der leeren Menge

  1. #1 Zitieren
    General Avatar von Lemon
    Registriert seit
    Nov 2009
    Ort
    Haus der Gelehrten, Jharkendar
    Beiträge
    3.651
    Hallo zusammen!
    Ich habe eine Frage zur Mengenlehre:

    Wenn ich den Durschnitt der leeren Menge bilde, ist das wieder die Grundmenge. Warum?
    Das Argument, dass je kleiner die Anzahl der Mengen wird aus denen ich den Durchschnitt bilde, desto weniger Anforderungen werden an die Elemente des Durschnitts gestellt, desto größer die Durschnittsmenge. Aber wenn ich jetzt den Durschnitt mit der leeren Menge durchführe, dann kann doch überhaupt kein Element diese Anforderung erfüllen weil kein Element teil der leeren Menge ist

    Danke schonmal im Voraus, mir geht das nicht aus dem Kopf!

    gruß,
    Lemon
    Odyssee - Im Auftrag des Königs

    "Ich will die Welt verändern, aber Gott gibt mir den Quellcode nicht!"

    Lemon ist offline

  2. #2 Zitieren
    Ritter Avatar von Der-Orden-Xar
    Registriert seit
    Feb 2007
    Ort
    Hilberts Hotel
    Beiträge
    1.932
    Zitat Zitat von Lemon Beitrag anzeigen
    Wenn ich den Durschnitt der leeren Menge bilde, ist das wieder die Grundmenge. Warum?
    Weil es nicht so ist. Für jede Menge A gilt A geschnitten der leeren Menge ist die leere Menge
    [Bild: 88a24bec2a593f460ac7a93d2e7efc9667ae641a]

    Das Argument, dass je kleiner die Anzahl der Mengen wird aus denen ich den Durchschnitt bilde, desto weniger Anforderungen werden an die Elemente des Durschnitts gestellt, desto größer die Durschnittsmenge.
    Ähm sicher?
    Von ein Element im Durchschnitt fordere ich ja, dass es in jeder menge ist, über die ich schneide.
    Also: Über je mehr Mengen ich schneide, desto mehr Anforderungen
    Je kleiner die Mengen, über die ich schneide, desto weniger Elemente kommen von vorne herein in Betracht.

    Aber wenn ich jetzt den Durchschnitt mit der leeren Menge durchführe, dann kann doch überhaupt kein Element diese Anforderung erfüllen weil kein Element teil der leeren Menge ist
    Richtig, kein Element ist in der leeren Menge, daher kann auch im Schnitt mit der leeren Menge kein Element sein.

    Die Argumentation passt eher zur Vereinigung.

    Danke schonmal im Voraus, mir geht das nicht aus dem Kopf!

    gruß,
    Lemon
    Die Mathematik ist das Alphabet, mit dem Gott die Welt geschrieben hat.
    Die Natur ist in der Sprache der Mathematik geschrieben.
    Galileo Galilei
    Die Logik ist die Hygiene, deren sich der Mathematiker bedient, um seine Gedanken gesund und kräftig zu erhalten.
    Weyl
    Der-Orden-Xar ist offline

  3. #3 Zitieren
    General Avatar von Lemon
    Registriert seit
    Nov 2009
    Ort
    Haus der Gelehrten, Jharkendar
    Beiträge
    3.651
    Odyssee - Im Auftrag des Königs

    "Ich will die Welt verändern, aber Gott gibt mir den Quellcode nicht!"

    Lemon ist offline

  4. #4 Zitieren
    Ritter Avatar von Der-Orden-Xar
    Registriert seit
    Feb 2007
    Ort
    Hilberts Hotel
    Beiträge
    1.932
    Ok ich sehe das Problem, jetzt bemühe ich doch mal anständige Symbolik^^
    Fall du etwas davon nicht versteht (insb weiß ich nicht, in wie weit du die Symbole lesen kannst) einfach nachfragen.
    http://upload.worldofplayers.de/file...MPjPMengen.pdf
    Die Mathematik ist das Alphabet, mit dem Gott die Welt geschrieben hat.
    Die Natur ist in der Sprache der Mathematik geschrieben.
    Galileo Galilei
    Die Logik ist die Hygiene, deren sich der Mathematiker bedient, um seine Gedanken gesund und kräftig zu erhalten.
    Weyl
    Der-Orden-Xar ist offline

  5. #5 Zitieren
    General Avatar von Lemon
    Registriert seit
    Nov 2009
    Ort
    Haus der Gelehrten, Jharkendar
    Beiträge
    3.651
    Danke für deine ausführliche Antwort!

    Heißt das also, dass die Quelle falsch ist?
    Odyssee - Im Auftrag des Königs

    "Ich will die Welt verändern, aber Gott gibt mir den Quellcode nicht!"

    Lemon ist offline

  6. #6 Zitieren
    Ritter Avatar von Der-Orden-Xar
    Registriert seit
    Feb 2007
    Ort
    Hilberts Hotel
    Beiträge
    1.932
    Nein, deine Quelle ist richtig. Hier liegt nur ein verständnisproblem vor:
    Deine Frage oben war, warum "Leere Menge geschnitten Ganze Menge = Ganze Menge" und die Aussage ist falsch, es gilt "Leere Menge geschnitten Ganze Menge = Leere Menge"
    Deine Quelle Sagt aber, "Wenn ich Null Mengen Schneide ist der Schnitt die ganze Menge"
    Sieh dir nochmal das Beispiel in der PDF an.
    Wenn J 3 Elemente hat, habe ich aufgeschrieben wie der Schnitt über die j in J zu verstehen ist. Nun überlege nochmal was passiert wenn J jetzt keine Elemente besitzt (sprich wenn J die leere menge ist)?
    Deine Quelle sagt, dann soll der Schnitt über diese (null) N_j gerade die ganze Menge sein.
    Die Mathematik ist das Alphabet, mit dem Gott die Welt geschrieben hat.
    Die Natur ist in der Sprache der Mathematik geschrieben.
    Galileo Galilei
    Die Logik ist die Hygiene, deren sich der Mathematiker bedient, um seine Gedanken gesund und kräftig zu erhalten.
    Weyl
    Der-Orden-Xar ist offline

  7. #7 Zitieren
    General Avatar von Lemon
    Registriert seit
    Nov 2009
    Ort
    Haus der Gelehrten, Jharkendar
    Beiträge
    3.651
    Zitat Zitat von Der-Orden-Xar Beitrag anzeigen
    Nein, deine Quelle ist richtig. Hier liegt nur ein verständnisproblem vor:
    Deine Frage oben war, warum "Leere Menge geschnitten Ganze Menge = Ganze Menge" und die Aussage ist falsch, es gilt "Leere Menge geschnitten Ganze Menge = Leere Menge"
    Deine Quelle Sagt aber, "Wenn ich Null Mengen Schneide ist der Schnitt die ganze Menge"
    Sieh dir nochmal das Beispiel in der PDF an.
    Wenn J 3 Elemente hat, habe ich aufgeschrieben wie der Schnitt über die j in J zu verstehen ist. Nun überlege nochmal was passiert wenn J jetzt keine Elemente besitzt (sprich wenn J die leere menge ist)?
    Deine Quelle sagt, dann soll der Schnitt über diese (null) N_j gerade die ganze Menge sein.
    Dass "Leere Menge geschnitten Ganze Menge = Leere Menge" ist mir vollkommen klar.

    Mein Problem ist genau die Aussage in deinem letzten Satz: Warum ist da so?

    gruß Lemon
    Odyssee - Im Auftrag des Königs

    "Ich will die Welt verändern, aber Gott gibt mir den Quellcode nicht!"

    Lemon ist offline

  8. #8 Zitieren
    Ritter Avatar von Der-Orden-Xar
    Registriert seit
    Feb 2007
    Ort
    Hilberts Hotel
    Beiträge
    1.932
    Das klang am Anfang noch anders:
    Zitat Zitat von Lemon Beitrag anzeigen
    Wenn ich den Durschnitt der leeren Menge bilde, ist das wieder die Grundmenge. Warum?


    Leere Menge geschnitten irgendwas = leere Menge kannst du ganz einfach mit dem Begründen, was deine Quelle sagt:

    Das was auch immer in dem Schnitt liegt, muss in dem irgendwas und der leeren Menge sein. Da in der leeren Menge aber schon dem Namen nach nicht allzu viel ist, kann auch nichts in der leeren Menge und dem irgendwas gleichzeitig sein.
    Daher ist der Schnitt der beiden Mengen wieder mit 0 Elementen besetzt und eine Menge mit 0 Elementen ist eindeutig bestimmt, es ist die leere Menge.

    (Es ist etwas anderes, wenn du den Schnitt über indizierte Mengen mit leerer Indexmenge nimmst, dass ist das was bei dir dann wieder als ganze Menge bezeichnet wird)
    Die Mathematik ist das Alphabet, mit dem Gott die Welt geschrieben hat.
    Die Natur ist in der Sprache der Mathematik geschrieben.
    Galileo Galilei
    Die Logik ist die Hygiene, deren sich der Mathematiker bedient, um seine Gedanken gesund und kräftig zu erhalten.
    Weyl
    Der-Orden-Xar ist offline

  9. #9 Zitieren
    General Avatar von Lemon
    Registriert seit
    Nov 2009
    Ort
    Haus der Gelehrten, Jharkendar
    Beiträge
    3.651
    Zitat Zitat von Der-Orden-Xar Beitrag anzeigen
    Das klang am Anfang noch anders:
    Damit meinte ich den Durschnitt mit der leeren Indexmenge


    Zitat Zitat von Der-Orden-Xar Beitrag anzeigen
    Leere Menge geschnitten irgendwas = leere Menge kannst du ganz einfach mit dem Begründen, was deine Quelle sagt:

    Das was auch immer in dem Schnitt liegt, muss in dem irgendwas und der leeren Menge sein. Da in der leeren Menge aber schon dem Namen nach nicht allzu viel ist, kann auch nichts in der leeren Menge und dem irgendwas gleichzeitig sein.
    Daher ist der Schnitt der beiden Mengen wieder mit 0 Elementen besetzt und eine Menge mit 0 Elementen ist eindeutig bestimmt, es ist die leere Menge.
    Ich glaube, das ist ein Missverständnis, dass "Leere Menge geschnitten irgendwas = leere Menge" ist mir wirklich klar.

    Zitat Zitat von Der-Orden-Xar Beitrag anzeigen
    (Es ist etwas anderes, wenn du den Schnitt über indizierte Mengen mit leerer Indexmenge nimmst, dass ist das was bei dir dann wieder als ganze Menge bezeichnet wird)
    Das ist mein Problem: Warum ist das so?
    Odyssee - Im Auftrag des Königs

    "Ich will die Welt verändern, aber Gott gibt mir den Quellcode nicht!"

    Lemon ist offline

  10. #10 Zitieren
    Ritter Avatar von Der-Orden-Xar
    Registriert seit
    Feb 2007
    Ort
    Hilberts Hotel
    Beiträge
    1.932
    Ach so, du meintest direkt die leere Indexmenge, dann hab ich das falsch verstanden.

    Warum das so ist, ist hauptsächlich Definitionsfrage.

    Was soll zum Beispiel für reelle Zahlen a_j die Summe über j in J sein? (Wenn J wieder leer)
    Analog wäre die Frage nach der Summe über reelle Zahlen a_i, wo i von (z.B.) 6 bis 4 läuft - da 6 > 4 ist das erstmal nicht Definiert.
    Aber normalerweise würden beide Summen dann als leere Summe gleich 0 gesetzt.

    Man braucht hier einfach eine (sinnvolle!) Definition, was in so einem Fall geschehen soll und naiv gibt es bei dem Schnitt nur zwei Möglichkeiten: die leere Menge oder die ganze Menge.
    Alles dazwischen ist offensichtlich unsinnige Willkür.

    Jetzt könnte man diskutieren, warum man nicht die leere Menge nimmt, vielleicht nimmt man das aber nur in einem anderen Spezialgebiet, aber eine auf Axiome basierende Lösung sehe ich da nicht.
    Die Mathematik ist das Alphabet, mit dem Gott die Welt geschrieben hat.
    Die Natur ist in der Sprache der Mathematik geschrieben.
    Galileo Galilei
    Die Logik ist die Hygiene, deren sich der Mathematiker bedient, um seine Gedanken gesund und kräftig zu erhalten.
    Weyl
    Der-Orden-Xar ist offline

  11. #11 Zitieren
    General Avatar von Lemon
    Registriert seit
    Nov 2009
    Ort
    Haus der Gelehrten, Jharkendar
    Beiträge
    3.651
    Alles klar! Dann akzeptier' ich das mal so
    Odyssee - Im Auftrag des Königs

    "Ich will die Welt verändern, aber Gott gibt mir den Quellcode nicht!"

    Lemon ist offline

  12. #12 Zitieren
    Ritter Avatar von Der-Orden-Xar
    Registriert seit
    Feb 2007
    Ort
    Hilberts Hotel
    Beiträge
    1.932
    Ich hab gerade nochmal etwas inner Uni nachgeforscht:
    Nein, der Schnitt über eine leere Indexmenge ist wirklich nicht definiert, es ist wirklich nur eine Konvention, wie ich eben auch vermutet habe.
    Die Mathematik ist das Alphabet, mit dem Gott die Welt geschrieben hat.
    Die Natur ist in der Sprache der Mathematik geschrieben.
    Galileo Galilei
    Die Logik ist die Hygiene, deren sich der Mathematiker bedient, um seine Gedanken gesund und kräftig zu erhalten.
    Weyl
    Der-Orden-Xar ist offline

  13. #13 Zitieren
    General Avatar von Lemon
    Registriert seit
    Nov 2009
    Ort
    Haus der Gelehrten, Jharkendar
    Beiträge
    3.651
    Zitat Zitat von Der-Orden-Xar Beitrag anzeigen
    Ich hab gerade nochmal etwas inner Uni nachgeforscht:
    Nein, der Schnitt über eine leere Indexmenge ist wirklich nicht definiert, es ist wirklich nur eine Konvention, wie ich eben auch vermutet habe.
    Danke für's nachforschen!
    Odyssee - Im Auftrag des Königs

    "Ich will die Welt verändern, aber Gott gibt mir den Quellcode nicht!"

    Lemon ist offline

  14. #14 Zitieren
    Ritter Avatar von Wanze
    Registriert seit
    Oct 2009
    Ort
    mal hier, mal dort
    Beiträge
    1.877
    Was verstehst du unter diesem Zusammenhang unter "Konvention"?

    Eine Indexmenge kann entweder endlich, unendlich oder eben leer sein.

    Und die Vereinigung zweier leeren Mengen ergibt nun mal nichts ;-)
    Wanze ist offline

Berechtigungen

  • Neue Themen erstellen: Nein
  • Themen beantworten: Nein
  • Anhänge hochladen: Nein
  • Beiträge bearbeiten: Nein
  •