Primzahlberechnung und Laufzeiten

**Lookbehind** · 24.05.2016 14:13

Hi,
ich beschäftige mich grad ein wenig mit Parallelisierung unter Python, und hab mich mal wieder ablenken lassen...

Mein "Künstliches"-Problem ist die Primzahl-Berechnung. Die grundlegende Idee ist recht simpel. Prüfe ob n durch irgendeine Zahl kleiner sqrt(n) teilbar ist. Ideeller weise geht das um so schneller, je weniger Zahlen geprüft werden müssen. Die Idee ist also diese Anzahl zu reduzieren. Da sich alle Zahlen, außer Primzahlen, durch Primfaktoren ausdrücken lassen, reicht es theoretisch ja auch, zu prüfen ob n durch irgendeine Primzahl kleiner sqrt(n) teilbar ist. Das sind definitiv weniger Zahlen und müsste somit schneller gehen. Einziges Problem, die Primzahlen kleiner sqrt(n) muss man erstmal haben.

Letzteres Problem hab ich einfach mal erschlagen, indem ich einen ganzen Haufen als List vorgebe. Damit ist der Algorithmus zwar nicht mehr universell einsetzbar, aber für meinen Performance-Test reicht es.

In Theorie müsste also der Algorithmus, welcher einen ganzen Haufen Primzahlen vorgegeben hat, schneller laufen, als der, der sämtliche Zahlen kleiner sqrt(n) prüft. In der Praxis jedoch ...

Code:

#!/usr/bin/env python

import sys
from math import sqrt, ceil

#known_primes = [2, 3, 5]
known_primes = [2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997, 1009, 1013, 1019, 1021, 1031, 1033, 1039, 1049, 1051, 1061, 1063, 1069, 1087, 1091, 1093, 1097, 1103, 1109, 1117, 1123, 1129, 1151, 1153, 1163, 1171, 1181, 1187, 1193, 1201, 1213, 1217, 1223, 1229, 1231, 1237, 1249, 1259, 1277, 1279, 1283, 1289, 1291, 1297, 1301, 1303, 1307, 1319, 1321, 1327, 1361, 1367, 1373, 1381, 1399, 1409, 1423, 1427, 1429, 1433, 1439, 1447, 1451, 1453, 1459, 1471, 1481, 1483, 1487, 1489, 1493, 1499, 1511, 1523, 1531, 1543, 1549, 1553, 1559, 1567, 1571, 1579, 1583, 1597, 1601, 1607, 1609, 1613, 1619, 1621, 1627, 1637, 1657, 1663, 1667, 1669, 1693, 1697, 1699, 1709, 1721, 1723, 1733, 1741, 1747, 1753, 1759, 1777, 1783, 1787, 1789, 1801, 1811, 1823, 1831, 1847, 1861, 1867, 1871, 1873, 1877, 1879, 1889, 1901, 1907, 1913, 1931, 1933, 1949, 1951, 1973, 1979, 1987, 1993, 1997, 1999, 2003, 2011, 2017, 2027, 2029, 2039, 2053, 2063, 2069, 2081, 2083, 2087, 2089, 2099, 2111, 2113, 2129, 2131, 2137, 2141, 2143, 2153, 2161, 2179, 2203, 2207, 2213, 2221, 2237, 2239, 2243, 2251, 2267, 2269, 2273, 2281, 2287, 2293, 2297, 2309, 2311, 2333, 2339, 2341, 2347, 2351, 2357, 2371, 2377, 2381, 2383, 2389, 2393, 2399, 2411, 2417, 2423, 2437, 2441, 2447, 2459, 2467, 2473, 2477, 2503, 2521, 2531, 2539, 2543, 2549, 2551, 2557, 2579, 2591, 2593, 2609, 2617, 2621, 2633, 2647, 2657, 2659, 2663, 2671, 2677, 2683, 2687, 2689, 2693, 2699, 2707, 2711, 2713, 2719, 2729, 2731, 2741, 2749, 2753, 2767, 2777, 2789, 2791, 2797, 2801, 2803, 2819, 2833, 2837, 2843, 2851, 2857, 2861, 2879, 2887, 2897, 2903, 2909, 2917, 2927, 2939, 2953, 2957, 2963, 2969, 2971, 2999, 3001, 3011, 3019, 3023, 3037, 3041, 3049, 3061, 3067, 3079, 3083, 3089, 3109, 3119, 3121, 3137, 3163, 3167, 3169, 3181, 3187, 3191, 3203, 3209, 3217, 3221, 3229, 3251, 3253, 3257, 3259, 3271, 3299, 3301, 3307, 3313, 3319, 3323, 3329, 3331, 3343, 3347, 3359, 3361, 3371, 3373, 3389, 3391, 3407, 3413, 3433, 3449, 3457, 3461, 3463, 3467, 3469, 3491, 3499, 3511, 3517, 3527, 3529, 3533, 3539, 3541, 3547, 3557, 3559, 3571, 3581, 3583, 3593, 3607, 3613, 3617, 3623, 3631, 3637, 3643, 3659, 3671, 3673, 3677, 3691, 3697, 3701, 3709, 3719, 3727, 3733, 3739, 3761, 3767, 3769, 3779, 3793, 3797, 3803, 3821, 3823, 3833, 3847, 3851, 3853, 3863, 3877, 3881, 3889, 3907, 3911, 3917, 3919, 3923, 3929, 3931, 3943, 3947, 3967, 3989, 4001, 4003, 4007, 4013, 4019, 4021, 4027, 4049, 4051, 4057, 4073, 4079, 4091, 4093, 4099, 4111, 4127, 4129, 4133, 4139, 4153, 4157, 4159, 4177, 4201, 4211, 4217, 4219, 4229, 4231, 4241, 4243, 4253, 4259, 4261, 4271, 4273, 4283, 4289, 4297, 4327, 4337, 4339, 4349, 4357, 4363, 4373, 4391, 4397, 4409, 4421, 4423, 4441, 4447, 4451, 4457, 4463, 4481, 4483, 4493, 4507, 4513, 4517, 4519, 4523, 4547, 4549, 4561, 4567, 4583, 4591, 4597, 4603, 4621, 4637, 4639, 4643, 4649, 4651, 4657, 4663, 4673, 4679, 4691, 4703, 4721, 4723, 4729, 4733, 4751, 4759, 4783, 4787, 4789, 4793, 4799, 4801, 4813, 4817, 4831, 4861, 4871, 4877, 4889, 4903, 4909, 4919, 4931, 4933, 4937, 4943, 4951, 4957, 4967, 4969, 4973, 4987, 4993, 4999, 5003, 5009, 5011, 5021, 5023, 5039, 5051, 5059, 5077, 5081, 5087, 5099, 5101, 5107, 5113, 5119, 5147, 5153, 5167, 5171, 5179, 5189, 5197, 5209, 5227, 5231, 5233, 5237, 5261, 5273, 5279, 5281, 5297, 5303, 5309, 5323, 5333, 5347, 5351, 5381, 5387, 5393, 5399, 5407, 5413, 5417, 5419, 5431, 5437, 5441, 5443, 5449, 5471, 5477, 5479, 5483, 5501, 5503, 5507, 5519, 5521, 5527, 5531, 5557, 5563, 5569, 5573, 5581, 5591, 5623, 5639, 5641, 5647, 5651, 5653, 5657, 5659, 5669, 5683, 5689, 5693, 5701, 5711, 5717, 5737, 5741, 5743, 5749, 5779, 5783, 5791, 5801, 5807, 5813, 5821, 5827, 5839, 5843, 5849, 5851, 5857, 5861, 5867, 5869, 5879, 5881, 5897, 5903, 5923, 5927, 5939, 5953, 5981, 5987, 6007, 6011, 6029, 6037, 6043, 6047, 6053, 6067, 6073, 6079, 6089, 6091, 6101, 6113, 6121, 6131, 6133, 6143, 6151, 6163, 6173, 6197, 6199, 6203, 6211, 6217, 6221, 6229, 6247, 6257, 6263, 6269, 6271, 6277, 6287, 6299, 6301, 6311, 6317, 6323, 6329, 6337, 6343, 6353, 6359, 6361, 6367, 6373, 6379, 6389, 6397, 6421, 6427, 6449, 6451, 6469, 6473, 6481, 6491, 6521, 6529, 6547, 6551, 6553, 6563, 6569, 6571, 6577, 6581, 6599, 6607, 6619, 6637, 6653, 6659, 6661, 6673, 6679, 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44543, 44549, 44563, 44579, 44587, 44617, 44621, 44623, 44633, 44641, 44647, 44651, 44657, 44683, 44687, 44699, 44701, 44711, 44729, 44741, 44753, 44771, 44773, 44777, 44789, 44797, 44809, 44819, 44839, 44843, 44851, 44867, 44879, 44887, 44893, 44909, 44917, 44927, 44939, 44953, 44959, 44963, 44971, 44983, 44987, 45007, 45013, 45053, 45061, 45077, 45083, 45119, 45121, 45127, 45131, 45137, 45139, 45161, 45179, 45181, 45191, 45197, 45233, 45247, 45259, 45263, 45281, 45289, 45293, 45307, 45317, 45319, 45329, 45337, 45341, 45343, 45361, 45377, 45389, 45403, 45413, 45427, 45433, 45439, 45481, 45491, 45497, 45503, 45523, 45533, 45541, 45553, 45557, 45569, 45587, 45589, 45599, 45613, 45631, 45641, 45659, 45667, 45673, 45677, 45691, 45697, 45707, 45737, 45751, 45757, 45763, 45767, 45779, 45817, 45821, 45823, 45827, 45833, 45841, 45853, 45863, 45869, 45887, 45893, 45943, 45949, 45953, 45959, 45971, 45979, 45989, 46021, 46027, 46049, 46051, 46061, 46073, 46091, 46093, 46099, 46103, 46133, 46141, 46147, 46153, 46171, 46181, 46183, 46187, 46199, 46219, 46229, 46237, 46261, 46271, 46273, 46279, 46301, 46307, 46309, 46327, 46337, 46349, 46351]
known_primes.sort()

def usage():
	print "Usage: " + sys.argv[0] + " <Int>"

def is_prime(n):
	if(n < 2):
		return False

	highest = ceil(sqrt(n))

	print "Numbers to check: " + str(len(known_primes))
	
	for prime in known_primes:
		if(prime > highest):
			return True
		elif((n % prime) == 0):
			return False


if(len(sys.argv) != 2):
	usage()
	exit(1)

try:
	n = int(sys.argv[1])
except ValueError:
	usage()
	exit(1)

if(is_prime(n)):
	print "Prime"
	#print known_primes
	exit(0)
else:
	print "Not a Prime"
	#print known_primes
	exit(2)

Code:

$ time ./primecheck_knownprimes.py 2147483647
Numbers to check: 4794
Prime

real	0m0.130s
user	0m0.075s
sys	0m0.034s

Code:

#!/usr/bin/env python

import sys
from math import sqrt, ceil

def usage():
	print "Usage: " + sys.argv[0] + " <Int>"

def is_prime(n):
	if(n < 2):
		return False
	if((n % 2) == 0):
		return False
	
	highest = int(ceil(sqrt(n)))
	potentials = xrange(3, highest, 2)

	print "Numbers to check: "+ str(len(potentials))
	
	for potential in potentials:
		if((n % potential) == 0):
			return False

	return True


if(len(sys.argv) != 2):
	usage()
	exit(1)

try:
	n = int(sys.argv[1])
except ValueError:
	usage()
	exit(1)

if(is_prime(n)):
	print "Prime"
	#print known_primes
	exit(0)
else:
	print "Not a Prime"
	#print known_primes
	exit(2)

Code:

$ time ./primecheck_simple.py 2147483647
Numbers to check: 23169
Prime

real	0m0.072s
user	0m0.051s
sys	0m0.019s

... braucht der Algorithmus, welcher die nötigen Primzahlen schon kennt, fast doppelt so lange. Und das obwohl er nur rund ein viertel der Rechnungen durchführen muss und die Rechnung an sich die gleiche ist.

Ich verstehe bloß nicht warum. [Bild: gruebel.gif]
Der einzige Unterschied ist die Überprüfung if(prime > highest), aber macht das so viel aus?

**Lehona** · 24.05.2016 16:06

Mach doch mal lieber ein paar tausend Durchführungen, so ist das wenig aussagekräftig

Edit: Außerdem sortierst du da noch ein Array. Das ist zwar nicht so groß, aber das könnte auch gut kosten.
Edit2: Außerdem ist Branching immer teuer, aber keine Ahnung wie viel das bei nicht-nativen Sprachen wirklich ausmacht.

**Lookbehind** · 24.05.2016 16:33

Zitat von Lehona

Mach doch mal lieber ein paar tausend Durchführungen, so ist das wenig aussagekräftig [Bild: gruebel.gif]

Mit ein paar tausend kann ich nicht dienen, aber ein paar hundert sinds schon geworden und die Zeiten sind sehr reproduzierbar.

Zitat von Lehona

Edit: Außerdem sortierst du da noch ein Array. Das ist zwar nicht so groß, aber das könnte auch gut kosten.

Ich hab jetzt mal starttime = time.time() direkt vor dem Aufruf von is_prime eingefügt und lasse mir direkt danach time.time() - starttime ausgeben. Das reduziert die Laufzeit von primecheck_knownprimes auf ~0.100s, was immernoch länger ist, als die Variante mit mehr Zahlen.

Zitat von Lehona

Edit2: Außerdem ist Branching immer teuer, aber keine Ahnung wie viel das bei nicht-nativen Sprachen wirklich ausmacht.

Welches Branching meinst du?

**jabu** · 24.05.2016 17:11

Ich weiß nicht, wie das auf deinem Linux ist, aber auf Windows gibt mir das Delta von time.time() nur ganzzahlige Vielfache des Interrupt-Intervalls, also standardmäßig (n * 15,6 ms), heraus. Ein im Hintergrund laufener Medienplayer genügt, um das Intervall auf den Minimalwert von (n * 1 ms) zu reduzieren. Dazu verwende ich jedoch lieber ein kleines Tool, um unnötige Systemlast zu vermeiden.

Mit Vorauswahl (Known_Primes.py):

Code:

...

known_primes = [2, 3, 5, 7, ... (nur hier gekürzt)]
known_primes.sort()


def is_prime(n):
	if(n < 2):
		return False

	highest = ceil(sqrt(n))
	
	for prime in known_primes:
		if(prime > highest):
			return True
		elif((n % prime) == 0):
			return False


try:
	n = int(sys.argv[1])
except ValueError:
	exit(1)

			
start_time = time.time()
for x in range(0, 1000):
        isprime = is_prime(n)
print("%.3f seconds" % (time.time() - start_time))

...

Code:

Known_Primes.py 2147483647
2.188 seconds
Prime

Dasselbe mit Sortierung innerhalb Loop (Known_Primes_SortInLoop.py):

Code:

...

known_primes = [2, 3, 5, 7, ... (nur hier gekürzt)]


def is_prime(n):
	if(n < 2):
		return False

        known_primes.sort()
	highest = ceil(sqrt(n))
	
	for prime in known_primes:
		if(prime > highest):
			return True
		elif((n % prime) == 0):
			return False


try:
	n = int(sys.argv[1])
except ValueError:
	exit(1)

			
start_time = time.time()
for x in range(0, 1000):
        isprime = is_prime(n)
print("%.3f seconds" % (time.time() - start_time))

...

Code:

Known_Primes_SortInLoop.py 2147483647
2.576 seconds
Prime

Mit Liste (Potential_Primes.py):

Code:

...

def is_prime(n):
	if(n < 2):
		return False
	if((n % 2) == 0):
		return False
	
	highest = int(ceil(sqrt(n)))
	potentials = range(3, highest, 2)

	for potential in potentials:
		if((n % potential) == 0):
			return False

	return True
	

try:
	n = int(sys.argv[1])
except ValueError:
	exit(1)

	
start_time = time.time()
for x in range(0, 1000):
        isprime = is_prime(n)
print("%.3f seconds" % (time.time() - start_time))

...

Code:

Potential_Primes.py 2147483647
9.318 seconds
Prime

Getestet wurde unter folgenden Bedingungen:
CPU: Intel mobile Core2Duo
Clock: 1,8 GHz
OS: Windows 10, 64 Bit
Timer Interval: 1 ms
Python: 3.5.1, 32 Bit
Die Ergebnisse sind reproduzierbar.

**Satans Krümelmonster** · 24.05.2016 18:25

Aus mathematischen Gesichtspunkten ist es übrigens empfehlenswert, erstmal zu prüfen, ob sich deine Zahl als 6k±1 (k∈ℕ) darstellen lässt. Ist dies nicht der Fall, ist die Zahl entweder kleiner als 5 oder keine Primzahl. Damit kannst du schonmal viele Zahlen aussieben ohne tausende Zahlen durchprobieren zu müssen.

**Lookbehind** · 24.05.2016 23:20

@jabu:
Irgendwie kommt mir das komisch vor. Ich schaffe es nichtmal ansatzweise, dass das eine komplette Sekunde dauert, und bei dir gleich 9? Und dann arbeite ich auch noch auf der schwächeren CPU (AMD E350 @ 2x1,6GHz, Xubuntu 12.04 mit 3.13er Kernel, Timings und genaue Python-Version kann ich grad nicht nachschlagen, dazu müsst ich den Laptop erst auspacken).

Zitat von Satans Krümelmonster

Aus mathematischen Gesichtspunkten ist es übrigens empfehlenswert, erstmal zu prüfen, ob sich deine Zahl als 6k±1 (k∈ℕ) darstellen lässt. Ist dies nicht der Fall, ist die Zahl entweder kleiner als 5 oder keine Primzahl. Damit kannst du schonmal viele Zahlen aussieben ohne tausende Zahlen durchprobieren zu müssen.

Das würde ja meinem ersten Ansatz entsprechen, der nur mit Primzahlen prüft ... zumindest grob. Aber schon der dauert ja länger. (zumindest bei mir, bei Jabu scheinbar nicht) [Bild: gruebel.gif]

**jabu** · 24.05.2016 23:47

Zitat von Lookbehind

@jabu:
Irgendwie kommt mir das komisch vor. Ich schaffe es nichtmal ansatzweise, dass das eine komplette Sekunde dauert, und bei dir gleich 9? Und dann arbeite ich auch noch auf der schwächeren CPU (AMD E350 @ 2x1,6GHz, Xubuntu 12.04 mit 3.13er Kernel, Timings und genaue Python-Version kann ich grad nicht nachschlagen, dazu müsst ich den Laptop erst auspacken).

Hast du auch mitbekommen, dass es bei mir 1000 Durchgänge sind (hätte ich vielleicht nicht nur im Code dokumentieren sollen)?

Edit:
Nicht alles, was neu ist, ist besser. Jeweils einmal, aber zigmal kontrolliert, 1000 Durchgänge der betreffenden Funktion, Reihenfolge wie oben, ebenso ohne Textausgabe, damit die Unterschiede deutlich werden, typische Werte:

Python 2.7:
1,332 s
1,516 s
3,214 s

Python 3.5:
2.212 s
2.430 s
9,231 s

Beobachtete Charakteristik: Zeiten stets reproduzierbar, Abweichungen unerheblich, über mehrere Dekaden proportional zur Anzahl der Durchgänge

Nur so eine fixe Idee, weil es oben fast danach aussieht: Solltest du vielleicht die Zeit zum Einlesen der Datei mitgemessen haben? Bei deinen späteren Versuchen doch nicht (mehr), oder?

Ansonsten:
Vermutlich hat meine CPU (welche noch älter als deine ist) eine deutlich bessere Cache-Leistung im Verhältnis zur Rechenleistung. Denn xrange unter 2.x bzw. range unter 3.x erzeugt hier wohl die Zahlen direkt über die Schleifenvariable, weshalb das zusätzliche Laden eines Wertes entfällt. Auch bei mir bringt es ziemlich viel, genügt aber nicht, es sei denn, man wollte Speicher sparen.

**Lehona** · 25.05.2016 02:22

Zitat von Lookbehind

Welches Branching meinst du?

Das zusätzliche If in der Schleife.
Und wenn du das irgendwie anders als Jabu getimet hast, dann kann es theoretisch sein, dass alleine das Konstruieren (sortiert ist es ja eigentlich schon) des Arrays mehr Zeit kostet oder sonst irgendein anderer Faktor, der nicht direkt mit dem Code zu tun hat (denn wenn es auf die Zeit ankommt, gibt's vermutlich auch keinen Kaltstart).

**jabu** · 25.05.2016 03:54

Zitat von Lehona

Das zusätzliche If in der Schleife. [...]

Habe ich vorhin gemessen, kostet bei mir rund 30 % Aufschlag bei den Zeiten.

**Satans Krümelmonster** · 25.05.2016 08:38

Zitat von Lookbehind

Das würde ja meinem ersten Ansatz entsprechen, der nur mit Primzahlen prüft ... zumindest grob. Aber schon der dauert ja länger. (zumindest bei mir, bei Jabu scheinbar nicht) [Bild: gruebel.gif]

Ist es nicht. Es ist eine Verbesserung der Prüfung, ob die Primzahl gerade ist (Zeile 12 deines schnelleren Codes im EP).

Da müsstest du dann statt if((n % 2) == 0): halt if((n-1 % 6) != 0 AND (n+1 % 6) != 0): (o.ä.) schreiben. Mit dem zusätzlichen Vergleich schmeißt du auch noch alle Zahlen, die durch drei teilbar sind, raus.
Wobei, wenn ich mir das so überlege, ist if((n % 2) == 0 OR (n % 3) == 0): genauso effektiv. Und wenn man das macht, dann kann man das ewig weit treiben (siehe deine Primzahlenliste). Was wiederum heißt, dass du doch recht hattest. ^^'

**jabu** · 25.05.2016 18:38

Messungen mit allem Initialisierungskram inklusive:

Um den Test möglichst fair und aussagekräftig zu gestalten, habe ich alles Unnötige herausgeschmissen und die Ausgaben auf das Wesentliche beschränkt. Weil man unter Windows nicht mal ein Werkzeug zur Zeitmessung hat, habe ich mir diesen widerlichen Powershell-Kram angetan. Das sind also jeweils 10 aufeinanderfolgende Durchgänge:

Code:

Set-Variable turns 10
function time($cmdline) {
    $sw = [Diagnostics.Stopwatch]::StartNew()
    for ($i=0; $i -lt $turns; $i++){
        &$cmdline
    }
    $sw.Stop()
    $elapsedTime = [string]::Format("{0} ms", $sw.Elapsed.TotalMilliseconds)
    return $elapsedTime
}
write-host '*********************************'
write-host "Known_Primes.py, $turns Ausführungen"
write-host $(time {& 'C:\Program Files (x86)\Python27-11\python.exe' Known_Primes.py 2147483647})
write-host '*********************************'
write-host "Simple_Primes.py, $turns Ausführungen"
write-host $(time {& 'C:\Program Files (x86)\Python27-11\python.exe' Simple_Primes.py 2147483647})
pause

Die Ergebnisse:

Python 2.7 (32 Bit):

Code:

*********************************
Known_Primes.py, 10 Ausführungen
Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y 903.0347 ms
*********************************
Simple_Primes.py, 10 Ausführungen
Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y 696.7644 ms

Python 2.7 (64 Bit):

Code:

*********************************
Known_Primes.py, 10 Ausführungen
Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y 866.6938 ms
*********************************
Simple_Primes.py, 10 Ausführungen
Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y 584.607 ms

Python 3.5 (32 Bit):

Code:

*********************************
Known_Primes.py, 10 Ausführungen
Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y 1054.1546 ms
*********************************
Simple_Primes.py, 10 Ausführungen
Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y 854.3297 ms

Python 3.5 (64 Bit):

Code:

*********************************
Known_Primes.py, 10 Ausführungen
Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y 1048.8421 ms
*********************************
Simple_Primes.py, 10 Ausführungen
Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y 782.8854 ms

Ohne Start- und Initialisierungszeiten, 1000 Schleifendurchgänge, Werte in s:

Code:

| Ver | Algo   | 32 Bit | 64 Bit |
----------------------------------
| 2.7 | Known  | 1,332  | 0,963  |
| 2.7 | Simple | 3,214  | 2,371  |   
| 3.5 | Known  | 2.212  | 1,579  |
| 3.5 | Simple | 9,231  | 6.666  |

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