[Bruce WaYne]

Hallo Leute, ich war leider die letzte Woche krank & komme daher gerade beim begrenzten Wachstum nicht weiter. Den a) Teil habe ich gemacht, könnte das jemand kontrollieren? Beim b) Teil bräuchte ich einige Erklärungen.

Aufgabe:

a) Die Weltbevölkerung betrug 1975 etwa 4,1*10^9 ; 1993 lebten 5,5*10^9 Menschen auf der Erde. Das Wachstum für diesen Zeitraum kann näherungsweise beschrieben werden durch die Funktion f mit f(t) = ae^kt, t in Jahren, t= 0 entspricht 1975, f(t) sei die Weltbevölkerung in Milliarden. Bestimmen Sie den Funktionsterm.
Um wieviel Prozent weicht eine Vorhersage für das Jahr 2003 vom tatsächlichen Wert 6,3*10^9 ab ? Wie entwickelt sich die Weltbevölkerung nach diesem Modell?
Das Modell hat Schwächen. Erläutern sie diese.

Lösung a: Der Term wäre dann nach meinen Berechnungen f(t) = 4,1*10^9 * e^0,0163t

f(28) = 6,47*10^9 heißt weicht um 170 Mio ( ? ) ab. --> Also 2,7 % mehr als vom Modell angenommen

Sie entwickelt sich in diesem Modell exponentiell & ins Unendliche. Hier ist dann auch die Schwäche. Die Bevölkerung kann nicht ins Unendliche wachsen, wegen dem Platz,Hunger,Kriege usw.



b) Neuere Prognosen sagen voraus, dass sich das Wachstum durch eine Funktion g mit g(t) = 4,6 / 0,3+e^-0,03t beschreiben lässt ( t = 0 entspricht 1975, g(t) in Milliarden).

-> Hier gleich eine Frage von mir :Was bedeutet die Funktion ? Was sind die 4,6 und die e-Funktion unterm Bruchstrich? Kann mir das jemand erklären?

Zeigen Sie dass g streng monoton wächst. ( Zeige ich mit dem GTR, oder ? )
In welchem Jahr wird voraussichtlich die größte Wachstumsrate eintreten? ( Muss ich hier die Funktion ableiten? Irgendwas steht in meinem Buch,doch ich verstehe es nicht)
In welchem Jahr wird die Wachstumsrate erstmals unter die Wachstumsrate von 1993 fallen?
Wie groß schätzt dieses Modell die maximal mögliche Erdbevölkerung?

Wie löse ich die b) ?

So sorry für den vielen Text aber vllt kann mir jemand weiterhelfen. Wäre wichtig, da dieses Thema in der nächsten Klassenarbeit kommt.

Vielen Dank schonmal

[Karden]

Teil a) schaut so weit richtig aus, wobei die Funktion das Modell ist und somit das Modell dir eine größere Bevölkerung voraussagt.

Zu b) Sicher, dass die Funktion stimmt, den ich komme für t=0 nicht auf den Wert der Weltbevölkerung von 1975.

Zeigen Sie dass g streng monoton wächst.
Für die Monotonie wirst du ableiten müssen, um dann zu zeigen, dass die Ableitung größer als Null ist.

In welchem Jahr wird voraussichtlich die größte Wachstumsrate eintreten?
Die größte Wachstumsrate bezeichnet hier mathematische gesehen den Wendepunkt, also zweite Ableitung etc.

In welchem Jahr wird die Wachstumsrate erstmals unter die Wachstumsrate von 1993 fallen?
Hier die Wachstumsrate von 1993 ausrechnen (sprich die Steigung) und dann schauen, wann die Steigung wieder kleiner wird.

Wie groß schätzt dieses Modell die maximal mögliche Erdbevölkerung?
Globales Maximum der Funktion ausrechnen.

[Satans Krümelmonster]

Sicher, dass die Funktion stimmt

ich denke, er hat sich vertippt. mehrfach. ^^
erstens hat er die klammer um den nenner vergessen (entnehme ich mal der frage, die sich der funktion anschließt) und dann noch falsche zahlen aufgeschrieben.
wenn man die funktion g(t)=6,4/(0,56+e^-0,03t) nimmt, stimmt es ungefähr.
eine bessere näherung wäre aber g(t)=6,401892/(0,561437+e^-0,0281442t). ist aber nicht so wichtig. ^^

achja: die maximale bevölkerung ist natürich in unendlich weit entfernter zeit. (funktion monoton steigend und es existiert eine obere schranke).
da musst du dann den grenzwert von g(t) für t->unendlich ausrechnen.

[Bruce WaYne]

Nein, die Funktion heißt laut meinem Mathebuch g(t) = 4,6/(0,3+e^-0,03t)

Na gut, ich versuche mich mal daran. Oder meint ihr die Aufgabe ist falsch ? Dieses 4,6 kommt mir nämlich auch verdammt Spanisch vor. Ich schätze da haben die Leute vom Mathebuch einen Zahlendreher reingehauen...

Könnte mir vllt jemand die Ableitungen Spoilern ? Von der Funktion mit 6,4/(0,3+e^-0,03t)

g'(x) = 0.192e−(0.03t)/(e−(0.03t)+0.3)2

Oder mir sagen ob das hier richtig ist?

[Satans Krümelmonster]

das ist falsch.
die richtige ableitung ist
g'(t)=0,192 e^-0,03t/(0,3+e^-0,03t)²

[Bruce WaYne]

Oh ja hatte die ' ^ ' vergessen.

Also die Monotonie habe ich einfach doch einsetzen von Werten in die 1. Ableitung bewiesen, da diese > 0 sind. Stimmt das soweit?

Maximales Wachstum mit dem Wendepunkt, der bei (40|0.16) liegt. Heißt im Jahr 2015 ist ein max. Wachstum von 0,16 Mrd. in diesem Jahr.

Dann Wachstumsrate 1993 ist g'(18) = 0,1435 -> Wegen der Symmetrie der Ableitungskurve ist die Wachstumsrate ab dem Jahr 2038 erstmals kleiner als 1993.

Und die Maximale Bevölkerung laut diesem Modell 15,33 Mrd., da das die Schranke ist. So sehe ich das in meinem Schaubild.
Wie kann ich das denn exakt berechnen? Wie ginge das nochmal mit den Randwerten in diesem Fall? ( sorry Mathe ist nicht gerade meine Stärke )

[Satans Krümelmonster]

auch wenn's dich wahrscheinlich nicht mehr insteressiert:

Also die Monotonie habe ich einfach doch einsetzen von Werten in die 1. Ableitung bewiesen, da diese > 0 sind. Stimmt das soweit?

einsetzen reicht als beweis nicht. nur wenn du einen punkt findest, bei dem f'(t)<0 wäre, könntest du mit einsetzen beweisen, dass es nicht monoton ist. so musst du f'(t) > 0 setzen und dann die menge der x ausrechnen, für die das gilt.

Maximales Wachstum mit dem Wendepunkt, der bei (40|0.16) liegt. Heißt im Jahr 2015 ist ein max. Wachstum von 0,16 Mrd. in diesem Jahr.

die erklärung stimmt, die 40 aber nur so ungefähr.

Dann Wachstumsrate 1993 ist g'(18) = 0,1435 -> Wegen der Symmetrie der Ableitungskurve ist die Wachstumsrate ab dem Jahr 2038 erstmals kleiner als 1993.

die funktion ist nicht symmetrisch. und 2038 ist falsch. der wert ist bereits im april 2037 unterschritten. (der wert für t bei dem g'(t) < g'(18) ist t > 62,27)
da muss man ein bisschen nachdenken, um darauf zu kommen.
ich kann du ja mal den rechenweg angeben:
[Bild: yhgfh.jpg]

wenn du da plus nimmst, kommst du auf die 18. bei minus auf die angesprochenen 62,27.
die funktion als symmetrisch anzusehen, ist aber auch ne gute näherung. ich denke nicht, dass euer lehrer von euch verlangt, dass ihr das so rechnet, wie ich da.

Und die Maximale Bevölkerung laut diesem Modell 15,33 Mrd., da das die Schranke ist. So sehe ich das in meinem Schaubild.

du erreichst diese maximale bevölkerung natürlich für t-> unendlich.
du musst also den grenzwert von g(t) für t-> unendlich bilden.

[Bruce WaYne]

Okay vielen Dank für deine ausführlichen Erklärungen. Natürlich interessieren mich deine Verbesserungen.

Grenzwertberechnungen kamen bei uns noch nicht dran. Wenn du Zeit/Lust hast könntest du mir ja nochmal eventuell wie in der letzten Antwort den Rechenweg posten.
Ansonsten vielen Dank an dich, hat mir sehr viel geholfen

[Satans Krümelmonster]

das ist eine sehr einfache funktion. da gibt es nicht viel für den grenzwert zu berechnen.
aber folgende rechnung/überlegung muss man anstellen:
[Bild: LrsvTkT6LYyhgfh.jpg]

man setzt natürlich voraus, dass 0^0,03=0 ist.

[Bruce WaYne]

Oh alles klar. Dankeschön.

[Bruce WaYne]

das ist eine sehr einfache funktion. da gibt es nicht viel für den grenzwert zu berechnen.
aber folgende rechnung/überlegung muss man anstellen:
[Bild: LrsvTkT6LYyhgfh.jpg]

man setzt natürlich voraus, dass 0^0,03=0 ist.

Aber warte, hast du hier nicht auch die Zahlen vertauscht? Es heißt doch 6,4 , nicht 4,6 oder ?

[Satans Krümelmonster]

ja, du hast recht. mein fehler.

[Bruce WaYne]

Dann wäre die Grenze laut Modell also bei 21 1/3 Mrd, oder?

Nur damit wir die Aufgabe auch wirklich richtig gelöst haben

[Satans Krümelmonster]

natürlich.

[Bruce WaYne]

Da du in Mathe gut aufgestellt bist hätte ich noch eine letzte Frage zu der Funktion allgemein. Mein Lehrer fragte warum man für das begrenzte Wachstum gerade diese Art/Form von Funktion nimmt. Und nicht zB. dieses Monster N(t) = No * exp(kt) / (1 + d/k * No * (exp(kt) - 1))

Also sie lautet ja :f(t)= 6,4/0,3+e^-0,03t , im Zähler also immer eine normale Zahl, im Nenner eine e-Funktion. Bewirkt diese e-Funktion also dass die Funktion gegen einen bestimmten Wert läuft ?

In einer anderen Aufgabe geht es um eine Fichte & deren Wachstum sie lautet h(t)= 30/29e^(-0,1758t)+1 , da ist dann für t -> unendlich strebt h(t) -> 30, da e^(-0,1758t) -> 0 für t -> unendlich.

Ist es Zufall dass hier im Zähler die 30 steht die angestrebt wird? Weil bei unsere heißt es ja für t -> unendlich strebt f(t) -> 21 1/3 Mrd oder?

Hoffe du verstehst meine Frage.

[Satans Krümelmonster]

wieso sollte man nicht dieses "monster" nehmen?
das kann man sogar in eine ganz ähnliche form wie deine gegebene funktion von der anderen aufgabe bringen.
die form wäre
f(t)=N₀/(d/k N₀ + e^-kt (d/k N₀-1))
du kannst zwar kein d finden, damit es auf deine funktion aus der aufgabe vorher passt, aber man sieht die ähnlichkeit, denke ich.
außerdem nimmt man diese funktion, weil sie die differentialgleichung des logistischen wachstums erfüllt.
die 30 ist kein zufall. in so rechnungen gibt es keinen zufall. wenn du den grenzwert für t->unendlich berechnest kommst du auf 30.
die funktion ist eben beschränkt. und die kleinstmögliche obere schranke ist dann halt die 30.