Mathe: Dreh die Pyramide um!

[Froob]

So, Hallo Leute, jetzt schreibe ich hier auch mal rein, da ich an einer Matheaufgabe gerade ziemlich verzweifel, bzw. habe ich ein Ergebnis aber ein Mädchen aus meiner Klasse hat einen freund mit Mathe LK der meint es käme etwas anderes raus....

Mathebuch selber habe ich leider in der Schule vergessen, also kein originaler Aufgabentext, Matheheft mit meinem Lösungsweg und den Werten habe ich aber :D
Es ist übrigens aus der neunten Klasse, sollte nicht allzu schwierig sein...


Okay, eine Glaspyramide wird umgedreht, sodass die Spitze nach unten zeigt, dann wird soviel Wasser eingefüllt, dass die Pyramide bis 8 cm von der Spitze aus gefüllt ist, selber ist die Pyramide 12 cm hoch und hat eine kantenlänge von 12 cm (also eine quadratische Grundfläche)

Erste Aufgabe:
Wieviel Wasser ist in der Pyramide? (in cm³ reicht es, nicht in l umwandeln)

Okay, es geht weiter, und jetzt kommt die eigentliche Aufgabe, die Pyramide wird nun umgedreht, sodass dir Grundfläche nun auf dem Boden steht, wie hoch steht das Wasser jetzt?

Zum besseren Verständnis habe ich mal eine Skizze zu der Aufgabe gezeichnet: (Proportionen auf der Skizze sind nicht beachtet^^)

http://www7.pic-upload.de/06.04.11/2jeqlpg2dgyj.png



Jetzt schreib ich noch wie ich die Aufgabe gelöst habe:

Um das Volumen des Wassers rauszukriegen musste ich erstmal die Kantenlänge des Wasserstandes der ersten Pyramide rauskriegen, dies ist eine Quadratische gleichmäßige Pyramide also müssten es bei 8 cm Wasserstand 8 cm Kantenlänge sein, dies habe ich noch mithilfe eines Strahlensatzes scnell nachgewiesen, also Kantenlänge von der Wasserpyramide = 8 cm

Nun habe ich das Volumen ausgerechnet:

V=1/3x(8x8x8)
V=170,67 cm³

Dann Habe ich das Volumen der ganzen Pyramide ausgerechnet

V=1/3x(12x12x12)
V=576 cm³

Folglich ist das Volumen der freien Luft noch die Differenz, also:
V=576-170,67
V=405,33

Nun musste ich mir einen Weg überlegen den Wasserstand der umgedrehten Pyramide zu berechnen, um ihn mit dem Wasser selber auszurechnen müsste ich ja die Höhe eines Pyramidenstumpfes ausrechnen, dafür fehlten mir aber zu viele Werte, also brauchte ich einen anderen Weg.

Ich habe also die Luftpyramide über dem Wasserpyramidenstumpf genommen und ihr Volumen x 3 genommen damit ich das Volumen des dazugehörigen Würfels hätte.

V=403,33 x 3
V=1209,99

Um nun die Kantenlänge des Würfels rauszukriegen habe ich die dritte Wurzel gezogen, das Ergebnis war:
a=10,67

Da bei einem Würfel die Kantenlänge ja gleich die Höhe ist musste ich diese nicht extra berechnen, also musste ich nurnoch die Differenz der Höhe der Luft von der Höhe der pyramide gesamt nehmen,
h= 12-10,67
h= 1,3277

Die Höhe des Wasserstandes in der auf der Grundfläche stehenden Pyramide wäre also 1,327 cm.


So, stimmt ihr mit diesem Ergebnis überein? Ich habe echt viele Wege gesucht dies auszurechnen, dieser erschien mir der logischste...

:)

[ojas]

Logische Fehler konnte ich in deiner Rechnung nicht erkennen. Üblicherweise stellt man allerdings zuerst eine Formel auf und setzt dann die Zahlen ein. Dadurch vermeidet man Rundungsfehler. Außerdem kann man das Ergebnis dann leichter für weitere Rechnungen verwenden (z.B. für 6cm).

hGesamt = 12
hWasser = 8
VGesamt = ⅓h3Gesamt
VWasser = ⅓h3Wasser
VLuft = VGesamt - VWasser

Nach umdrehen der Pyramide hast du:

hLuft,umgedreht = 3⅓V⅓Luft

hWasser,umgedreht = hGesamt - hLuft,umgedreht
= hGesamt - 3⅓V⅓Luft
= hGesamt - 3⅓(VGesamt - VWasser)⅓
= hGesamt - 3⅓(⅓h3Gesamt - ⅓h3Wasser)⅓
= hGesamt - (h3Gesamt - h3Wasser)⅓

Jetzt Zahlen einsetzen:

= hGesamt - (h3Gesamt - h3Wasser)⅓
= 12 - (123 - 83)⅓
= 12 - (1728 - 512)⅓
= 12 - 1216⅓

Jetzt Taschenrechner:

12 - 1216⅓ ≈ 1,3264

[Froob]

Somit wären es 3 unterschiedliche Ergebnisse, wird ja scheinbar spannend wer am Ende Recht hat :D (der aus dem Mathe LK hatte 5,9 cm raus).

Okay, deine Rechnung ist soweit nachvollziehbar, aber könntest du vielleicht in kleineren Schritten erklären wie du V=⅓h³ nach h auflöst?

Bzw. könntest du mir erklären was falsch daran ist, das Volumen einer solchen besonderen Pyramide * 3 zu nehmen um den dazugehörigen Würfelvolumen rauszukriegen?

Bzw. was ist ⅓ einfach ein anderes Zeichen für die dritte Wurzel? Sonst hätte ich es ja gleich wie du aufgelöst...

Edit:
Outch, da hast du deinen Beitrag wohl grundlegend umgekrempelt :D
Gut, dann wäre mein Ergebnis ja soweit nicht falsch oder?
Die 0,0003 Unterschied sind dann die besagten Rundungsfehler

[ojas]

... (der aus dem Mathe LK hatte 5,9 cm raus)

Da würde mich die Argumentation interessieren.


... aber könntest du vielleicht in kleineren Schritten erklären wie du V=⅓h³ nach h auflöst?

V=⅓h3
=> 3⋅V = 3⋅⅓h³ (durch Multiplikation mit 3 auf beiden Seiten)
=> 3⋅V = h³ (da 3⋅⅓ = 1 ist)
=> (3⋅V)⅓ = (h³)⅓ (durch Potenzieren mit ⅓ auf beiden Seiten)
=> (3⋅V)⅓ = h3⋅⅓ (wegen Potenzgesetzen)
=> (3⋅V)⅓ = h1 = h (da 3⋅⅓ = 1 ist)

Das Zeichen "=>" bedeutet "daraus folgt" oder "dann ist"

Bzw. könntest du mir erklären was falsch daran ist, das Volumen einer solchen besonderen Pyramide * 3 zu nehmen um den dazugehörigen Würfelvolumen rauszukriegen?

Da ist nichts falsch dran. Es ist eine etwas ungewöhnliche Argumentation, mathematisch aber korrekt.


Bzw. was ist ⅓ einfach ein anderes Zeichen für die dritte Wurzel?

Nee, das ist 1 geteilt durch 3. Allerdings ist x⅓ die dritte Wurzel von x.


Outch, da hast du deinen Beitrag wohl grundlegend umgekrempelt :D

Ja, ich hatte mich mehrmals verrechnet.


Die 0,0003 Unterschied sind dann die besagten Rundungsfehler

Ja (0,0013 übrigens).

[Froob]

Nee, das ist 1 geteilt durch 3. Allerdings ist x⅓ die dritte Wurzel von x.


Meinte auch hoch 1/3, Brüche kann ich schon erkennen :D Nur wollte sich das 1/3 irgendwie nicht nach oben schiebenlassen , meine nächste Frage wie das geht hat sich durch das Zitat dann wohl erübrigt :)

Edit:
Au, da hab ich wohl was wichtiges vergessen...

DANKESCHÖN!