Archiv verlassen und diese Seite im Standarddesign anzeigen : [Mathe]Integration (mit Partialbruchzerlegung)
Hallo zusammen,
ich muss für folgende Funktion das unbestimmte Integral bilden:
f(x) = (x^4+x²+3x-2)/(x²*(x²+1))
Ich bin über Partialbruchzerlegung heran gegangen, allerdings ist das, was danach herauskommt nicht identisch mit meiner Ausgangsfunktion. Ich schreibe mal meine Schritte auf und die jeweiligen Ergebnisse und wenn jemand einen Fehler zwischendrin entdeckt, bitte sagen.
Also zunächst habe ich eine Polynomdivision gemacht, bei der herauskam:
f(x) = 1 + (3x-2)/(x^4+x²)
dann habe ich die Nullstellen des Nenners bestimmt:
doppelte Nullstelle bei 0
und eine komplexe Nullstelle (bei i)
Jetzt habe ich umgestellt:
(3x-2)/(x²*(x²+1)) = A/x + B/x² + (Cx+D)/(x²+1)
=> an der letzten Stelle bin ich mir besonders unsicher, ob man da schon das Cx+D schreiben kann. Wenn nicht, wie löse ich die komplexe Stelle sonst auf?
Jedenfalls habe ich umgestellt und für die Variablen folgende Werte heraus bekommen:
A = 3
B = -2
C = -3
D = 2
Eingesetzt in meine Funktion komme ich damit aber nicht wieder auf meine Ausgangsfunktion. Irgendwo ist also der Wurm drin... ojas, kannst du das vlt mal überfliegen? Oder gerne auch mal jemand anders, nur ist es dringend....
(...) nur ist es dringend....
Hoffentlich kommt die Antwort da noch rechtzeitig: Du kannst den Ansatz
(3x-2)/(x²*(x²+1)) = A/x + B/x² + (Cx+D)/(x²+1)
so machen, denn es gibt ja auch eine rein reelle Partialbruchzerlegung.
Ich habe es einmal nachgerechnet und ich komme auch auf:
A = 3
B = -2
C = -3
D = 2
Meine Probe hat funktioniert:
3(x^3+x)-2(x^2+1)+(-3x+2)x^2=3x^3+3x-2x^2-2-3x^3+2x^2=3x-2,
ganz, wie es sein soll. :)
Vielleicht hast Du Dich ja dabei verrechnet?
Für (-3x+2)/(x^2+1) kriege ich als Stammfunktion
-3/2 ln(x^2+1)+2arctan(x)+c.
Tatsächlich, ich fasse es nicht^^
Also gut, der Ausdruck heißt nun:
Integral (1 + 3/x - 2/(x²) + (2-3x)/(x²+1))
Für die einzelnen Koeffizienten:
Integral(1) = x
Integral(3/x) = 3ln(x)
Integral(-2/x²) = 2/x
=> ich denke, die kann man alle ohne weitere Erklärung des Lösungsweges hinschreiben. Wie ist es nun aber mit:
Integral((2-3x)/(x²+1)) aus? Riecht mir verdammt nach einem Kandidaten für eine zweite Partialbruchzerlegung. Muss ich die hier ausführen oder gibt es einen Trick, mit dem ich das kürzer fassen kann? Ich las in deiner Lösung etwas von 2arctan. Dort bin ich auch herausgekommen, aber ich konnte nicht genau nachvollziehen, ob die Lösung dieses einzelnen Koeffizienten 2arctan ist (was ich nicht glaube). Kannst du mir bitte noch erklären, wie du auf die Stammfunktion hier kommst?
Und zu spät bist du auch nicht^^ Ich fang ja gerade erst an mit den Aufgaben, die ich dazu habe. Nur wenn ich sechs angefangene Aufgaben vor mir liegen habe und noch keine lösen konnte, freu ich mich immer, wenn eine davon wenigstens mal schnell gelöst ist. Bringt Bonuspunkte für ne Klausur, die ich bei meinem Rechentalent unbedingt brauche^^
Hier die Erklärung zum letzten Integral, ich habe es einmal ein wenig übersichtlicher
aufgeschrieben: :)
http://upload.worldofplayers.de/files4/Partialbruch2.pdf
Ein verspätetes Danke nochmal hierfür.
Ich habe noch ein paar in Petto; erst einmal eine, bei der ich wirklich schon sehr viel versucht habe und keine schlüssige Lösung fand:
f(x) = e^(2x) * sin(3x)
Davon soll die Stammfunktion gebildet werden. Ich habe es echt schon mit Substitution, partieller Integration und diversen trigonometrischen Wegen versucht, ich komme auf kein sinnvolles Ergebnis.
Sur-Taka
03.04.2010, 09:16
Ein verspätetes Danke nochmal hierfür.
Ich habe noch ein paar in Petto; erst einmal eine, bei der ich wirklich schon sehr viel versucht habe und keine schlüssige Lösung fand:
f(x) = e^(2x) * sin(3x)
Davon soll die Stammfunktion gebildet werden. Ich habe es echt schon mit Substitution, partieller Integration und diversen trigonometrischen Wegen versucht, ich komme auf kein sinnvolles Ergebnis.
sollte aber mit partieller integration gehen... ich würde dir die lösung ja hier reinschreiben, aber das ist immer sehr mühsam ohne formel editor und mit ist mir zu aufwendig... naja, ich versuchs mal int() heißt jetzt mal integral von... das dx spare ich mir mal, wenns nicht stört...
int[e^(2x) * sin(3x)] = 1/2 e^(2x) * sin(3x) - 3 * int[e^(2x) * cos(3x)]
das eht noch über partielle integration... so, jetzt macht man das nochmal...
int[e^(2x) * sin(3x)]
= 1/2 * e^(2x) * sin(3x) - 3 * int[e^(2x) * cos(3x)]
= 1/2 * e^(2x) * sin(3x) - 3 * [1/2 * e^(2x) * cos(3x) + 3 * int[e^(2x) * sin(3x)]]
= 1/2 * e^(2x) * sin(3x) - 3/2 * e^(2x) * cos(3x) - 9 * int[e^(2x) * sin(3x)]
so, der rotmarkierte teil ist das, was wir wissen wollen, und er steht auf beiden seiten der gleichung... da es sonst keine weiteren integrale gibt, können wir einfach danach auflösen, also:
int[e^(2x) * sin(3x)] = 1/20 * e^(2x) * sin(3x) - 3/20 * e^(2x) * cos(3x)
so müsste es vom prinzip her funktionieren... könnte aber sein, dass fehler drin sind, da ich jetzt die ganze rechnung am pc und ohne notizen gemacht habe, was etwas unübersichtlich ist... der trick ist einfach so lange partielle integration zu nutzen bis wieder das ursprungsintegral vorkommt und dann einfach die gleichung danach aufzulösen...
Sur-Takas Lösungsweg sollte funktionieren, allerdings ist ein kleiner Rechenfehler drin (nach der partiellen Integration fehlt beim übrig gebliebenen Integralteil ein Faktor 1/2 von der Integration von e^(2*x)).
Das richtige Ergebnis ist -3/13*e^(2*x)*cos(3*x)+2/13*e^(2*x)*sin(3*x).
Kannst du mir den Term vlt nochmal genau aufstellen, an dem du den Fehler gefunden hast? Ich bin wohl mal wieder Fehlerblind. Hab jetzt:
int(e^(2x)*sin(3x)) = 0,5e^(2x)*sin(3x) - 3*(0,5e^(2x)*cos(3x) + 1,5*int(e^(2x)*sin(3x))
Das hab ich soweit auch kapiert, dort entsteht ja dann -4,5*Ausgangsintegral. Ich rechne +4,5*Ausgangsintegral, komme dann aber auf 5,5 und das durch 0,5 komme ich immer auf 1/11, statt auf 1/13. Ist bestimmt nur ein Schusselfehler, aber ich komm da grad überhaupt nicht drauf klar...
Ich habe noch so ein Teil, an dem ich nicht klar komme :(
Int(sqrt(64x²+36x^4))dx
Mit Substitution hat es nicht funktioniert, ich bin am Überlegen, ob ich es überhaupt richtig gekürzt habe. Meine erste Umwandlung ergibt:
Int(2x*sqrt(16+9x²))
Dann habe ich es mit partieller Integration versucht, komme aber immer darauf hinaus, dass ich eine Wurzel, die im Nenner steht, integrieren muss. Sieht jemand eine Möglichkeit, dem zu entgehen? Mir ist auch schon eine Art binomische Formel aufgefallen, allerdings müsste man dann aus der Ausgangsfunktion folgende machen:
Int(sqrt((8x+6x²)²-96x³)), was mir ebenso unsinnig erscheint...
Achso, nicht, dass ihr denkt, ich mach mir hier keine Gedanken zu und lass meine Aufgaben von euch lösen. Hab schon drei davon selbst gepackt und bei denen, die ich hier reinstelle, hab ich minimum schon ein Stündchen geknobelt. Ist halt so, dass man für jede Aufgabe einen halben Bonuspunkt für die nächste Klausur bekommt, das darf ich mir einfach nicht entgehen lassen, also bitte ich um ein bisschen Verständnis und Hilfe. Danke :)
So müsste es eigentlich gehen:
http://upload.worldofplayers.de/files4/Integral2.pdf :)
EDIT: Mach Dir keine Gedanken. Vor solchen Klausuren sollte man
alle Bonuspunkte mitnehmen, die man kriegen kann. :)
Mensch, ich danke dir außerordentlich.
Aber hier, wie kommt man denn überhaupt auf den Ansatz, wenn man nur das Integral gegeben hat? Du hast ja direkt aus der Ableitung der Stammfunktion daraus geschlossen, aber die sehe ich ja nicht so direkt daraus...
Oder meinst du, es genügt so, wenn man aus der Formelsammlung diese allgemeine Formel entnimmt und damit begründet?
[...]
Oder meinst du, es genügt so, wenn man aus der Formelsammlung diese allgemeine Formel entnimmt und damit begründet?
Ja. Anders als Differenzieren ist Integrieren nicht immer durch das einfache sukzessive Anwenden bestimmter Regeln möglich. Manchmal muss man auch geschickt "raten" oder zusätzliches "Wissen" hineinstecken wie in der Lösung von Vilya.
Soll ich das Integral von e^(2*x)*sin(3*x) noch herleiten oder hat sich das erledigt?
Gern geschehen! :)
Differenzieren ist relativ einfach: Es gibt eine Handvoll Regeln, mit deren Hilfe man so gut
wie alles ableiten kann. Beim Integrieren ist es nicht so einfach, es gibt ein paar Regeln
und vor allem viele Tricks. Integrieren hat oft etwas von "Basteln" und "Hinbiegen" an sich.
Von daher denke ich, dass aus mathematischer Sicht nichts gegen das Benutzen einer
Formelsammlung spricht, oft muss man das Integral ja auch noch ein wenig anpassen.
Im Zweifelsfall kann man behaupten, die Stammfunktion gefunden zu haben und die
Behauptung durch Ableiten der angegeben Stammfunktion beweisen. Das ist mathematisch
gesehen unanfechtbar.
Eine andere Frage ist es natürlich, wie die Aufgabe überhaupt formuliert wurde: Steht da
nur "bestimmen Sie die Stammfunktion", "finden Sie die Stammfunktion", "Berechnen Sie
das unbestimmte Integral" oder so etwas, dann kann man es so machen, wie ich es
beschrieben habe.
Wenn die Aufgabensteller etwas anderes haben wollen, müssen sie es auch sagen! Also
etwa so: "Berechnen Sie mit Hilfe der partiellen Integration" , "Berechen Sie mit Hilfe der
Subsitutionsregel", "Integrieren Sie mit Hilfe der Partialbruchzerlegung" oder einfach
(quasi ein Hintertürchen) "Verwenden Sie nur die in der Vorlesung besprochenen Regeln".
Diese letzte Einschränkung wird oft unausgesprochen für das Lösen der Aufgaben
vorausgesetzt. Ob das bei Dir so ist, kann ich nicht sagen, da müsstest Du einmal
denjenigen (oder diejenige) fragen, der Deine Aufgaben korrigiert.
@Zhanior: Ganz meine Meinung. :)
Soll ich das Integral von e^(2*x)*sin(3*x) noch herleiten oder hat sich das erledigt?
Wäre nicht schlecht. Hier stehe ich noch an dem Punkt, wie bei meinem letzten Post. Ich komme immer auf 11tel, statt 13tel...
Durch einmaliges Anwenden von partieller Integration ergibt sich
http://www.forkosh.dreamhost.com/mimetex.cgi?%20\reverse%20\int%20e^{2x}%20\sin%283x%29%20dx%20=%20\frac{1}{2}%20 e^{2x}%20\sin%283x%29%20-%20\frac{3}{2}%20\int%20e^{2x} \cos%283x%29 dx
Nochmaliges Anwenden von partieller Integration auf das verbleibende Integral ergibt
http://www.forkosh.dreamhost.com/mimetex.cgi? \reverse \ldots = \frac{1}{2} e^{2x} \sin(3x) - \frac{3}{4} e^{2x} \cos(3x) - \frac{9}{4} \int e^{2x} \sin(3x) dx
Durch Äquivalenzumformungen bekommt man dann obiges Ergebnis. Ich vermute, Du hast beim zweiten Schritt wieder den Faktor 1/2 durch Integrieren von e^(2*x) vergessen - dann ergibt sich nämlich was mit -9/2*Ausgangsintegral und dem entsprechend erhält man Elftel statt Dreizehntel.
Ah, na klar §wall
Endlich, das ist Lösung 5 von 6, wie geil^^ vielen Dank :)
So, ich hatte euch ja vorgewarnt...
Die letzte Aufgabe ist wieder eine mit Partialbruchzerlegung.
Int ((x²+5)/((x-1)*(x²+4))dx
Nullstellen des Nenners:
n1 = 1
n2/3 = komplexe Nst.
Nach PBZ bekomme ich
Int (6/(5*(x-1)) - (0,2x+0,2)/(x²+4))dx
Habe ich das erst einmal richtig aufgestellt? Wie geht es jetzt weiter? Für den ersten Teil doch sicher was mit ln, beim zweiten bin ich wieder etwas ratlos...
Bitteschön: http://upload.worldofplayers.de/files4/Partialbruch3.pdf :)
Schmunzel
07.04.2010, 15:29
Wolfram|Alpha ist richtig cool für sowas, wenn du nur Ansätze suchst. http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28x%C2%B2%2B5%29%2F%28%28x-1%29*%28x%C2%B2%2B4%29
Bitteschön: http://upload.worldofplayers.de/files4/Partialbruch3.pdf :)
Wolfram|Alpha ist richtig cool für sowas, wenn du nur Ansätze suchst. http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28x%C2%B2%2B5%29%2F%28%28x-1%29*%28x%C2%B2%2B4%29
Tja, was soll ich noch sagen? Danke, auf so Sachen wäre ich wohl selbst kaum gekommen^^
@ Vilya, ich könnte mich nur revancieren, indem ich deinen Namen in eine meiner Storys einbinde, wie wäre das? *g*
@Ronsen: Ich helfe Dir, weil es mir Spaß macht und ich im Moment ein wenig Zeit dafür
übrig habe. Du brauchst Dich deshalb zu nichts verpflichtet fühlen. :)
Aber ich muss gestehen, dass Du mich neugierig gemacht hast (entschuldige bitte mein
Unwissen): Storys?
Da folgst du am besten den beiden Links in meiner Signatur (Harpyien und der auf dem Bild^^). Wenn ich etwas besser kann als Mathe, dann ist das das Schreiben von Geschichten, eigentlich jedweder Art, aber vorrangig Mittelalterzeit und Fantasy.
Ach ich habe übrigens auf meine letzten Belege (nicht die von jetzt, die von vor paar Monaten schon^^), 9 von 10 Punkten bekommen. Mit allen anderen Belegen zusammen macht das etwa 9 bis 9,5 Bonuspunkte für meine Klausur, jetzt muss ich die nur noch bestanden haben xD
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