[Physik] Beschleunigte Bewegung

[Schmunzel]

Ein Güterzug passiert auf einem Nebengleis mit der Geschwindigkeit v'0 einen Bahnhof. Zur gleichen Zeit t0=0 fährt der Personenzug in derselben Richtung ab. Die Beschleunigung des Personenzuges nimmt von a0 (zur Zeit t0) linear mit der Zeit bis auf null (zur Zeit t1) ab. Dann fährt er mit konstanter Geschwindigkeit v1 weiter und überholt den Güterzug.

a) Zu welcher Zeit t2 fährt der Personenzug am Güterzug vorbei?

v'0=54km/h
t1=160s
a0=0,25m/s²

Meine Frage ist nun nicht die nach der Lösung (da ich es selber schon raus hab), sondern ob es ohne "rumprobieren" lösbar wäre, würde man nicht wissen, dass der Personenzug erst nach dem Erreichen seiner Maximalgeschwindigkeit den Güterzug überholt. Man müsste ja theoretisch zwei Gleichungen nutzen. Einmal für t<160s und t>=160s. Ohne "rumprobieren" (sprich: einfach mal ein paar Zahlen eintippen und abschätzen, welche Gleichung man nutzt) würde man ja doof dastehn.

Seht ihr das auch so oder hat jemand von euch eine elegante Gleichung, welche die Bewegung des Personenzugs für t<160s und t>=160s beschreibt? Ich hab bei der Aufgabe nämlich diesen entscheidenden Punkt überlesen gehabt und stand dann eine Weile auf dem Schlauch. (denn numerische Zwischenschritte zu machen bzw. damit rumzuprobieren wird nicht gern gesehen)

[Larnak]

Mh.

Da fällt mir jetzt auch nichts zu ein. Du müsstest ja dabei berücksichtigen und in eine Gleichung packen, dass die Beschleunigung dann ab einer bestimmten Zeit nicht mehr weiter linear abfällt, sprich nicht negativ werden darf.
Sprich: Gesucht ist eine Funktion, die eine lineare Steigung in bestimmten Abschnitten kombinieren könnte mit anderen Abschnitten, in denen keine Steigung existiert - ohne, dass für die Berechnung bekannt sein muss, in welchem Abschnitt der Funktion man sich befindet.
Mag sein, dass es für so etwas auch mathematische Funktionen gibt, ich wüsste aber nicht, wie das funktionieren sollte, ohne die Funktion in zwei Abschnitte zu teilen.

Aber ausprobieren musst Du ja nicht unbedingt, jedenfalls nicht so, dass Du Dir einfach ein paar Werte ausprobieren musst.
Als Vorgehensweise ließe sich festlegen, zuerst die Funktion mit der beschleunigten Bewegung zu testen. Sobald Du hier einen Zeitpunkt herausbekommst, der sich jenseits der Zeit t1, also jenseits des Scheitelpunktes der Geschwindigkeit befindet, kannst du daraus ableiten, dass hier die Funktion zur gleichförmigen Bewegung benutzt werden muss.
Hiermit kannst du dir dann quasi eine "Wenn ... dann ... sonst ..." Beziehung aufbauen.

Das wäre aber das Minimum an "Ausprobieren", mit dem ich die Aufgabe jetzt rechnen könnte.

[Ronsen]

Wie wärs damit?

Erstmal Geschwindigkeit des neu anfahrenden Zugs berechnen:

v=a*t => v= 40m/s

t2=t1 + s/v gilt für den anfahrenden Wagen und das ist gleich s/v'

Nach s umstellen:

s = -t/v + t/v' = 3840m

t2=t1 + s/v = 256s

[ojas]

v=a*t

Das gilt bei konstanter Beschleunigung. Bei sich ändernder Beschleunigung gilt allgemeiner v (t ) = ∫a (t ) dt

[R V Castlereagh]

Für a(t) gilt: Y-Achsenschnitt bei 0,25, X-Achsenschnitt bei t1.

Daraus folgt für die Punkt (0|0,25) und (t1|0) m=- 0,25/t1.

Für v(t) gilt also: v (t ) = ∫-0,25/t1*t+0,25 dt.

Gesucht ist also ein t1, bei dem v größer wird als v'0, also größer als 54 km/h.

Müssten dann doch 54,1 km/h ausreichen.

[Larnak]

Ich glaube ich kann dir nicht ganz folgen.

t1 ist gegeben, nicht gesucht. Gesucht ist t2, was der Zeitpunkt ist, an dem der eine Zug exakt gleich weit gekommen ist, wie der andere (s1(t2)=s2(t2)), die Geschwindigkeit ist da direkt nicht wichtig.
Wenn die Geschwindigkeit des einen Zugs größer wird als 54 km/h bedeutet das nur, dass er ab diesem Zeitpunkt näher an den anderen Zug herankommt.

In Hinblick auf die Frage von Schmunzel sehe ich nicht, worauf Du hinaus möchtest :dnuhr:
Das hilft ja nicht bei dem Problem. (Es geht ja nicht ums Ausrechnen, sondern um das Packen in eine Gleichung)

@Ronsen:
Siehe ojas, wenn du v(t ) = ∫a (t)dt anwendest, kommst du bei der Bewegung des anfahrenden Zuges nicht auf v=at ;)
Das funktioniert nur, wenn a konstant ist.

[Schmunzel]

Für a(t) gilt: Y-Achsenschnitt bei 0,25, X-Achsenschnitt bei t1.

Daraus folgt für die Punkt (0|0,25) und (t1|0) m=- 0,25/t1.

Für v(t) gilt also: v (t ) = ∫-0,25/t1*t+0,25 dt.

Gesucht ist also ein t1, bei dem v größer wird als v'0, also größer als 54 km/h.

Müssten dann doch 54,1 km/h ausreichen.

Das ist allerdings nur eine Gleichung für t<160s. Der Zug würde praktisch nach 160s immer langsamer werden, was er aber nicht soll.

[R V Castlereagh]

Das ist allerdings nur eine Gleichung für t<160s. Der Zug würde praktisch nach 160s immer langsamer werden, was er aber nicht soll.

Nein. Nach 160 Sekunden erreicht wird a=0, die Geschwindigkeit bleibt, denn die ist ja das Integral.

@Larnak

Stimmt, es ist t2 gesucht, ich habe mich verschrieben.

[Schmunzel]

Nein. Nach 160 Sekunden erreicht wird a=0, die Geschwindigkeit bleibt, denn die ist ja das Integral.


Was du da im Integral drin hast ist die Gleichung für die Beschleunigung. Lös mal die Gleichung für t=161s und du hast eine negative Beschleunigung also a<0.

[Larnak]

Nein. Nach 160 Sekunden erreicht wird a=0, die Geschwindigkeit bleibt, denn die ist ja das Integral.

Richtig, das müsste so sein. Aber die lineare Gleichung für die Beschleunigung beschreibt die Beschleunigung ja über den Zeitpunkt t1 hinaus, ohne darauf Rücksicht zu nehmen, dass die Beschleunigung dort nicht weiterhin linear abnimmt (wie vorher), sondern konstant bei Null bleibt.
Wenn auch danach hiermit weiter gerechnet wird, nimmt man an, dass danach eine negative Beschleunigung auftritt (siehe Gleichung), was zur Folge hat, dass auch das Integral, also die Geschwindigkeit, wieder abnimmt.

[R V Castlereagh]

Was du da im Integral drin hast ist die Gleichung für die Beschleunigung. Lös mal die Gleichung für t=161s und du hast eine negative Beschleunigung also a<0.

Nein, die von mir angegebene Funktion gibt die jeweilige Beschleunigung an. Ein bestimmter Punkt dieser Funktion gibt den Wert der Beschleunigung für den Zeitpunkt t an. Die Steigung muss negativ sein, weil die Beschleunigung abnimmt.

t=161s ist für die Gleichung irrelevant, weil ab nach 160 s keine Beschleunigung mehr erfolgt (ich hätte noch das Intervall angeben müssen, das stimmt). Ab 160 s rechnen wir mit der konstanten Geschwindigkeit weiter.

[Schmunzel]

Nein, die von mir angegebene Funktion gibt die jeweilige Beschleunigung an. Ein bestimmter Punkt dieser Funktion gibt den Wert der Beschleunigung für den Zeitpunkt t an. Die Steigung muss negativ sein, weil die Beschleunigung abnimmt.

t=161s ist für die Gleichung irrelevant, weil ab nach 160 s keine Beschleunigung mehr erfolgt (ich hätte noch das Intervall angeben müssen, das stimmt). Ab 160 s rechnen wir mit der konstanten Geschwindigkeit weiter.

dann hast du mir allerdings nur das gesagt, was ich schon von anfang des Threads wusste. Wir benötigen eine Gleichung für t<160s und eine separate für t>=160s

[Ronsen]

Schreib doch die Lösung mal rein. Das hilft vlt schon ein bisschen...

[Schmunzel]

Schreib doch die Lösung mal rein. Das hilft vlt schon ein bisschen...

t1=213s+(1/3)s
wüsste nicht, was das helfen sollte :dnuhr:
(wenn du die gleichungen meinst... die hab ich mir selber auch schon hergeleitet.)

[ojas]

Für a(t) gilt: Y-Achsenschnitt bei 0,25, ...
Die Beschleunigung von 0,25m/s² erfolgt zum Zeitpunkt t0, nicht zum Zeitpunkt 0.

@Schmunzel: Ausprobieren brauchst du nur einen einzigen Wert, und zwar den wo der Personenzug eine Beschleunigung von 0m/s² erreicht. Je nach dem ob der Personenzug zu diesem Zeitpunkt den Güterzug schon eingeholt hat oder nicht musst du eine Fallunterscheidung machen. Du kannst diese Fallunterscheidung durch die Charakteristische Funktion (http://de.wikipedia.org/wiki/Charakteristische_Funktion_%28Mathematik%29) des Intervalls [t0, t1] kaschieren, spätestens wenn du konkrete Werte ausrechnest kommt sie aber wieder zum Tragen. Besser wird's nicht.

[Schmunzel]

Nagut. Dann kann die gesamte Bewegung des Zuges nicht in einer Gleichung beschrieben werden. Ich danke jedenfalls für die Mühe.

Ich hab da noch etwas.

Ein Rennwagen durchfährt zwischen zwei Haarnadelkurven eine Strecke s0, wobei Anfangs- und Endgeschwindigkeit annähernd gleich null seien. Die als konstant angesehene Beschleunigung ist a1, die ebenfalls als konstant vorrausgesetzte verzögerung a2.

a) Welche minimale Zeit t0 benötigt der Wagen für die Strecke s0?

s0=120m
a1=2,5m/s²
a2=-5m/s²


Ich bin wiedermal mit meinem Lösungsweg unzufrieden. Ich hab ein richtiges Ergebnis, bin allerdings nur sehr umständlich darauf gekommen (über die Beschleunigung t1 und t2 ins Verhältnis zu t0 gebracht und dann über s0=s1+s2 t0 ausgerechnet). Hat jemand einen eleganten Lösungsweg parad? Das Lösungsbuch gibt mir die Endgleichung:

sqrt(2s0(a2-a1)/(a1a2))=12s

ich hab:
sqrt(18s0/(8a1+a2))=12s

wie gesagt. Mein Lösungsweg ist recht umständlich, (da ich schreibfaul bin und sehr viel schreiben musste). Jemand eine Idee, wie man auf die Endformel vom Lösungsbuch kommt?

[Satans Krümelmonster]

hier die 2 noch im tus voreschlagenen lösungswege.


vielleicht:

s1(t)=a1/2 t²
v1(t)=a1 t
s2(t)=-a2/2(t-t0)²+120m
v2(t)=-a2(t-t0)

wie man auf diese gleichungen kommt:
die ersten beiden sollten klar sein.
für s2 hab ich mir folgendes überlegt:
es ist einfach die nach unten geöffnete normalparabel s(t)=-a2/2 t² mit dem scheitel bei (t0 | 120m). denn da ist dann v=0

nun suchst du dir einen punkt, bei dem du weißt, wie sich die s-t-gleichungen zueinander und die geschwindigkeiten zueinander verhalten.
das ist bei s1=s2 so.
da muss nämlich v1=v2 sein. (die anfangsgeschwindigkeit der bremsung die endgeschwindigkeit der beschleunigung)
du setzt also s1 mit s2 und v1 mit v2 gleich.

nun hast du folgende gleichungssysteme:

a1/2 t² = -a2/2(t-t0)²+120m
und
a1 t = -a2(t-t0)

zwei gleichungen mit zwei unbekannten: solle zu lösen sein ;)


Ich würds einfach mit Überlegen lösen, die Verzögerung ist doppelt so groß wie die Beschleunigung. Daher braucht der Wagen 2/3 der Zeit zum Beschleunigen, 1/3 zum Abbremsen.

x1 = 1/2a1*(2/3t)²
x1 = 1/2*2,5m/s²*(2/3t)² = 10/18*m/s*t²

x2 = 1/2a1*(1/3t)²
x2 = 1/2*5,0m/s²*(1/3t)² = 5/18*m/s²*t²

x1 + x2 = 120m
120m = 10/18*m/s*t² + 5/18*m/s*t² = 15/18*m/s*t²
120 = 5/6t²/s²
t²/s² = 144
t/s = 12
t = 12s

Der Wagen braucht 12 Sekunden.

löst man übrigens meins auf, kommt man fast auf das im buch vorgeschlagene ergebnis. das liegt aber wohl daran, dass ich das minus direkt in der gleichung eingebaut habe und man die negative beschleunigung nur noch als betrag einsetzen muss.

edit: ich hab's nochmal ohne das minus in der gleichung gerechnet und voilà: man kommt auf dein gewünschtes ergebnis.

[Schmunzel]

dankeschön :gratz