[Mathe] Extremwertprobleme (DRINGEND!)

[Dark_Tengulist]

also guten moin...

also ich hab n problem. um genauer zu sein, ne scheinbar ünlösbare aufgabe.


also:

Eine 330 ml getränkedose hat einen durchmesser von 5,6cm und eine höhe von 14,5 cm. untersuche, ob man die dose mit demselben volumen herstellen kann, für die weniger aluminium benötigt wird....


meine beste lösung bis jetzt ist, dass man sie anstatt aus aluminium aus plastik oder sonstwas baut, aber ich glaub, das ist jetzt nicht wirklich gefragt.

also normalerweise kann ich sowas. aufgaben a la "du hast n stück metall und sollst daraus ne kiste bauen. wie lang müssen die seiten sein, um n größtmögliches volumen zu erhalten" kann ich zwar, aber irgendwie schein ich grad n brett vorm kopf zu haben....

[Thoronador]

Wo ist das Problem?
Die Volumenformel für die Dose ist die eines Kreiszylinders: V=Pi/4*d²*h. Setze da die gegebenen Werte ein und rechne es aus (da kommen etwas mehr als 330cm³ raus).
Formel für die Oberfläche des Zylinders: A=2*Pi*r*(r+h)
Die Flächenformel gilt es zu optimieren, die Volumenformel kannst du als Nebenbedingung nutzen, um aus der Flächenformel entweder die Höhe oder den Radius (bzw. Durchmesser) rauszubekommen. Danach hast du nur noch eine variable Größe drin, und damit kann man wie gewohnt die Extremwerte bestimmen.


(Nicht ganz themenbezogener) Hinweis für Spaßverderber:
Das beste Verhältnis von Volumen zu verwendetem Material bekäme man nicht bei einer zylinderförmigen Dose, sondern bei einer kugelförmigen. Nur lassen die sich schlecht(er) stapeln und kleine Kinde sollte man dann besser auch nicht mehr mit in den Supermarkt nehmen. :p

[Satans Krümelmonster]

V=G*h
V=pi*r²*h
=> h=V/(pi*r²)

Damit rechnest du das Volumen der Dose aus: 357,14cm²

O=pi*r²+2*pi*r*h
O=pi*r²+2V/r

O'=2pi*r-2V/r² Nullsetzen und auflösen...

Kommt für r dritte_wurzel(V/pi) raus.

[Thoronador]

Damit rechnest du das Volumen der Dose aus: 357,14cm²
Zu der Zeit, als ich noch zur Schule ging, wurden Volumina noch nicht in Flächeneinheiten angegeben. :p

[Dark_Tengulist]

@satans krümelmonster: haste da nicht n paar klammern vergessen???

ich habs noch irgendwie nicht ganz verstanden... könnte sich einer vielleicht noch die mühe machen, das ganze etwas in worte zu fassen? wäre sehr lieb :gratz

[Thoronador]

ich habs noch irgendwie nicht ganz verstanden... könnte sich einer vielleicht noch die mühe machen, das ganze etwas in worte zu fassen? wäre sehr lieb :gratz
Hmm, ich dachte, meins sollte als Anregung reichen für jemanden, der es im Prinzip kann.

also normalerweise kann ich sowas. aufgaben a la "du hast n stück metall und sollst daraus ne kiste bauen. wie lang müssen die seiten sein, um n größtmögliches volumen zu erhalten" kann ich zwar, aber irgendwie schein ich grad n brett vorm kopf zu haben.
Im Prinzip ist die Aufgabe hier nicht anders als bei der Kiste, nur dass die Kiste eben ein Zylinder ist. Ebenso ist diesmal nicht das maximale Volumen gesucht, das ist hier fest, sondern der minimale Materialverbrauch für die Oberfläche der Dose. Also quasi: "Du hast ein 'Stück' Getränk und sollst das in eine zylinderförmige Dose verpacken, die möglichst wenig Aluminium verbraucht."

Material braucht man nur für die Verpackung, also die Oberfläche, und dann versucht man eben, diese Fläche möglichst minimal zu halten, aber so, dass das "Stück Getränk" (;)) noch reinpasst.
Die Oberflächenformel ist folgende: A=2*Pi*r*(r+h)
Diese gilt es zu minimieren, sprich den kleinsten Extremwert zu finden. Da man aber noch zwei variable Größen, Radius und Höhe der Dose, in der Formel hat, ihr aber sicherlich nur Formeln mit einer Variablen ableitet, muss man vorher noch eine dieser Größen irgendwie rausschmeißen. Dazu hat man die Nebenbedingung, was in diesem Fall die Volumenformel ist: V=Pi/4*d²*h bzw. V=Pi*r²*h. Diese Formel stellt man dann nach h (oder wenn man möchte nach r) um, und setzt das dann in die Flächeninhaltsformel ein. Danach hat man eine Oberflächenformel, welche nur noch von r (oder von h, falls man die Formel nach r umgestellt hat) und dem Volumen abhängt. Das Volumen ist aber indirekt gegeben, man hat nämlich die Maße der bisherigen Dose und daraus kann man das Volumen berechnen, sodass dieser Wert dann auch fest ist.
Also nimmt man sich nun die nur noch von r abhängende Oberflächenformel A(r), leitet diese nach r ab, und sucht die Nullstellen der Ableitung, da diese Stellen mögliche Kandidaten für Extremstellen sind. Wenn man es richtig machen will, bildet man auch noch die zweite Ableitung, um herauszufinden, ob es sich bei den Extremstellen um ein Minimum (das wollen wir hier haben) oder ein Maximum handelt.
Jedenfalls hat man dann am Ende (hoffentlich) ein Minimum, und den so gefundenen Radius und die zuhegörige Höhe setzt man in die Flächeninhaltsformel ein, um die minimale Oberfläche auszurechnen. Ist diese Fläche kleiner als die Oberfläche der Dose mit 5,6cm Durchmesser und 14,5cm Höhe, so gibt es eine Dose mit gleichem Volumen, die aber weniger Material benötigt.

[Satans Krümelmonster]

Zu der Zeit, als ich noch zur Schule ging, wurden Volumina noch nicht in Flächeneinheiten angegeben. :p
http://www.worldofugly.de/ugly/003.gif

@satans krümelmonster: haste da nicht n paar klammern vergessen???
Nein.

ich habs noch irgendwie nicht ganz verstanden... könnte sich einer vielleicht noch die mühe machen, das ganze etwas in worte zu fassen? wäre sehr lieb :gratz

Unsere lieber Thoronador hat das ja schon gemacht.
Allerdings hab ich irgendwie was anderes raus §ugly
Naja. Seins wird wohl stimmen^^

[Dark_Tengulist]

ok.... danke... ich war nu n bisschen stutzig, da man ja nur ne extremstelle für die funktion mit r sucht. also "fehlte" mir irgendwo der bezug zur höhe.... da war das brett....

[K.Murx]

Andere Variante:
Man optimiert das Verhaltnis Volumen/Oberflaecheund schaut ob die gegebene Dose dem entspricht. Ist aber bissel tricky.
V/A = 0.5*r*h/(r+h)
Jetzt koennte man sagen, da steht ja immer noch r und h drin. Allerdings ist o.g. Formel symmetrisch in r und h, d.h wenn ich r und h vertausche kommt genau dasselbe raus. Wenn ich also nach r optimiere ist es dasselbe wie wenn ich nach h optimieren wuerde. Es genuegt also nach einer Variablen zu optimieren.
Und da (V/A)' ~ (h-2r) ist eine Dose mit h=d optimal (zumindest vom Oberflaechenverbrauch, greifen kann man die nicht mehr gescheit).

Hat aber zugegebenermassen was vom weissen Kaninchen aus dem Mathehut ;)