Pontius Pilatus
14.06.2008, 18:26
Teil meines Mathe Spezialgebietes über Elementargeometrische Sätze.
Außerdem befindet sich im Anhang eine GeoGebra Datei, die den gesamten Sachverhalt dynamisch darstellt, was sowohl für das Verständnis gut ist, als auch zum Präsentieren.
Grundsätzlich sollte alles stimmen, wurde von meinem Professor durchgegangen und für gut befunden.
Satz von Menelaos und Satz von Ceva
Der Satz von Menelaos ist nach dem griechischen Mathematiker und Astronom Menelaos benannt, welcher den Satz etwa 100 nach Christus bewies.
Der Satz von Menelaos beschreibt das Teilverhältnis in einem Dreieck durch welches eine Gerade „quer“ hindurchgeht. Eine solche Gerade wird auch „Transversale“ genannt.
Diese Gerade schneidet die Seiten, bzw die Verlängerungen der Seiten in drei Punkten.
Für die Teilstrecken gilt dann das Verhältnis: AD/DB * BE/EC * CF/FA = -1
Auch der Umkehrschluss ist korrekt, also drei Punkte auf den Dreiecksseiten (bzw Verlängerungen) die dieses Verhältnis erfüllen, müssen auf einer Gerade liegen.
Dies kann man mittels dem Strahlensatz beweisen:
AD/DB = +/- l/m
BE/EC = +/- m/n
CF/FA = +/- n/l
Das Vorzeichen bei einer Gleichung ist dann positiv zu wählen, wenn man die Gerade nicht verlängern muss, um einen Schnittpunkt mit der Transversalen zu erlangen. Es kann also nur der Fall von zwei positiven und einer negativen Gleichung vorkommen, oder drei negativen Gleichungen.
http://upload.worldofplayers.de/files/Satz%20von%20Menelaos.jpg
Satz von Ceva
Der Satz von Ceva beschreibt die Teilungsverhältnisse von drei beliebigen Ecktransversalen in einem Dreieck. Einzige Bedingung ist, dass sie einen gemeinsamen Schnittpunkt haben.
Hier gilt dann, dass
AD/DB * BE/EC * CF/FA = 1
Beweisen kann man das dadurch, dass man den Satz von Menelaos zweimal auf die Teildreiecke anwendet.
http://upload.worldofplayers.de/files/Satz%20von%20Ceva.JPG
Außerdem befindet sich im Anhang eine GeoGebra Datei, die den gesamten Sachverhalt dynamisch darstellt, was sowohl für das Verständnis gut ist, als auch zum Präsentieren.
Grundsätzlich sollte alles stimmen, wurde von meinem Professor durchgegangen und für gut befunden.
Satz von Menelaos und Satz von Ceva
Der Satz von Menelaos ist nach dem griechischen Mathematiker und Astronom Menelaos benannt, welcher den Satz etwa 100 nach Christus bewies.
Der Satz von Menelaos beschreibt das Teilverhältnis in einem Dreieck durch welches eine Gerade „quer“ hindurchgeht. Eine solche Gerade wird auch „Transversale“ genannt.
Diese Gerade schneidet die Seiten, bzw die Verlängerungen der Seiten in drei Punkten.
Für die Teilstrecken gilt dann das Verhältnis: AD/DB * BE/EC * CF/FA = -1
Auch der Umkehrschluss ist korrekt, also drei Punkte auf den Dreiecksseiten (bzw Verlängerungen) die dieses Verhältnis erfüllen, müssen auf einer Gerade liegen.
Dies kann man mittels dem Strahlensatz beweisen:
AD/DB = +/- l/m
BE/EC = +/- m/n
CF/FA = +/- n/l
Das Vorzeichen bei einer Gleichung ist dann positiv zu wählen, wenn man die Gerade nicht verlängern muss, um einen Schnittpunkt mit der Transversalen zu erlangen. Es kann also nur der Fall von zwei positiven und einer negativen Gleichung vorkommen, oder drei negativen Gleichungen.
http://upload.worldofplayers.de/files/Satz%20von%20Menelaos.jpg
Satz von Ceva
Der Satz von Ceva beschreibt die Teilungsverhältnisse von drei beliebigen Ecktransversalen in einem Dreieck. Einzige Bedingung ist, dass sie einen gemeinsamen Schnittpunkt haben.
Hier gilt dann, dass
AD/DB * BE/EC * CF/FA = 1
Beweisen kann man das dadurch, dass man den Satz von Menelaos zweimal auf die Teildreiecke anwendet.
http://upload.worldofplayers.de/files/Satz%20von%20Ceva.JPG