[Mathemathik] Durschnitt der leeren Menge

[Lemon]

Hallo zusammen!
Ich habe eine Frage zur Mengenlehre:

Wenn ich den Durschnitt der leeren Menge bilde, ist das wieder die Grundmenge. Warum?
Das Argument, dass je kleiner die Anzahl der Mengen wird aus denen ich den Durchschnitt bilde, desto weniger Anforderungen werden an die Elemente des Durschnitts gestellt, desto größer die Durschnittsmenge. Aber wenn ich jetzt den Durschnitt mit der leeren Menge durchführe, dann kann doch überhaupt kein Element diese Anforderung erfüllen weil kein Element teil der leeren Menge ist :dnuhr:

Danke schonmal im Voraus, mir geht das nicht aus dem Kopf! :gratz

gruß,
Lemon

[Der-Orden-Xar]

Wenn ich den Durschnitt der leeren Menge bilde, ist das wieder die Grundmenge. Warum?
Weil es nicht so ist. Für jede Menge A gilt A geschnitten der leeren Menge ist die leere Menge
https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88a24bec2a593f460ac7a93d2e7efc9667ae641a


Das Argument, dass je kleiner die Anzahl der Mengen wird aus denen ich den Durchschnitt bilde, desto weniger Anforderungen werden an die Elemente des Durschnitts gestellt, desto größer die Durschnittsmenge.

Ähm sicher?
Von ein Element im Durchschnitt fordere ich ja, dass es in jeder menge ist, über die ich schneide.
Also: Über je mehr Mengen ich schneide, desto mehr Anforderungen
Je kleiner die Mengen, über die ich schneide, desto weniger Elemente kommen von vorne herein in Betracht.


Aber wenn ich jetzt den Durchschnitt mit der leeren Menge durchführe, dann kann doch überhaupt kein Element diese Anforderung erfüllen weil kein Element teil der leeren Menge ist :dnuhr:

Richtig, kein Element ist in der leeren Menge, daher kann auch im Schnitt mit der leeren Menge kein Element sein.

Die Argumentation passt eher zur Vereinigung.

Danke schonmal im Voraus, mir geht das nicht aus dem Kopf! :gratz

gruß,
Lemon

[Lemon]

Quelle:

http://upload.worldofplayers.de/files10/1aqYKcNWDTmi4uTOaGUsindexmenge.jpg

[Der-Orden-Xar]

Ok ich sehe das Problem, jetzt bemühe ich doch mal anständige Symbolik^^
Fall du etwas davon nicht versteht (insb weiß ich nicht, in wie weit du die Symbole lesen kannst) einfach nachfragen. :)
http://upload.worldofplayers.de/files10/Uha7UPKgKxEMJCMPjPMengen.pdf

[Lemon]

Danke für deine ausführliche Antwort!

Heißt das also, dass die Quelle falsch ist?

[Der-Orden-Xar]

Nein, deine Quelle ist richtig. Hier liegt nur ein verständnisproblem vor:
Deine Frage oben war, warum "Leere Menge geschnitten Ganze Menge = Ganze Menge" und die Aussage ist falsch, es gilt "Leere Menge geschnitten Ganze Menge = Leere Menge"
Deine Quelle Sagt aber, "Wenn ich Null Mengen Schneide ist der Schnitt die ganze Menge"
Sieh dir nochmal das Beispiel in der PDF an.
Wenn J 3 Elemente hat, habe ich aufgeschrieben wie der Schnitt über die j in J zu verstehen ist. Nun überlege nochmal was passiert wenn J jetzt keine Elemente besitzt (sprich wenn J die leere menge ist)?
Deine Quelle sagt, dann soll der Schnitt über diese (null) N_j gerade die ganze Menge sein.

[Lemon]

Nein, deine Quelle ist richtig. Hier liegt nur ein verständnisproblem vor:
Deine Frage oben war, warum "Leere Menge geschnitten Ganze Menge = Ganze Menge" und die Aussage ist falsch, es gilt "Leere Menge geschnitten Ganze Menge = Leere Menge"
Deine Quelle Sagt aber, "Wenn ich Null Mengen Schneide ist der Schnitt die ganze Menge"
Sieh dir nochmal das Beispiel in der PDF an.
Wenn J 3 Elemente hat, habe ich aufgeschrieben wie der Schnitt über die j in J zu verstehen ist. Nun überlege nochmal was passiert wenn J jetzt keine Elemente besitzt (sprich wenn J die leere menge ist)?
Deine Quelle sagt, dann soll der Schnitt über diese (null) N_j gerade die ganze Menge sein.

Dass "Leere Menge geschnitten Ganze Menge = Leere Menge" ist mir vollkommen klar.

Mein Problem ist genau die Aussage in deinem letzten Satz: Warum ist da so?

gruß Lemon §wink

[Der-Orden-Xar]

Das klang am Anfang noch anders:

Wenn ich den Durschnitt der leeren Menge bilde, ist das wieder die Grundmenge. Warum?



Leere Menge geschnitten irgendwas = leere Menge kannst du ganz einfach mit dem Begründen, was deine Quelle sagt:

Das was auch immer in dem Schnitt liegt, muss in dem irgendwas und der leeren Menge sein. Da in der leeren Menge aber schon dem Namen nach nicht allzu viel ist, kann auch nichts in der leeren Menge und dem irgendwas gleichzeitig sein.
Daher ist der Schnitt der beiden Mengen wieder mit 0 Elementen besetzt und eine Menge mit 0 Elementen ist eindeutig bestimmt, es ist die leere Menge.

(Es ist etwas anderes, wenn du den Schnitt über indizierte Mengen mit leerer Indexmenge nimmst, dass ist das was bei dir dann wieder als ganze Menge bezeichnet wird)

[Lemon]

Das klang am Anfang noch anders:


Damit meinte ich den Durschnitt mit der leeren Indexmenge ;)




Leere Menge geschnitten irgendwas = leere Menge kannst du ganz einfach mit dem Begründen, was deine Quelle sagt:

Das was auch immer in dem Schnitt liegt, muss in dem irgendwas und der leeren Menge sein. Da in der leeren Menge aber schon dem Namen nach nicht allzu viel ist, kann auch nichts in der leeren Menge und dem irgendwas gleichzeitig sein.
Daher ist der Schnitt der beiden Mengen wieder mit 0 Elementen besetzt und eine Menge mit 0 Elementen ist eindeutig bestimmt, es ist die leere Menge.


Ich glaube, das ist ein Missverständnis, dass "Leere Menge geschnitten irgendwas = leere Menge" ist mir wirklich klar.



(Es ist etwas anderes, wenn du den Schnitt über indizierte Mengen mit leerer Indexmenge nimmst, dass ist das was bei dir dann wieder als ganze Menge bezeichnet wird)


Das ist mein Problem: Warum ist das so?

[Der-Orden-Xar]

Ach so, du meintest direkt die leere Indexmenge, dann hab ich das falsch verstanden.

Warum das so ist, ist hauptsächlich Definitionsfrage.

Was soll zum Beispiel für reelle Zahlen a_j die Summe über j in J sein? (Wenn J wieder leer)
Analog wäre die Frage nach der Summe über reelle Zahlen a_i, wo i von (z.B.) 6 bis 4 läuft - da 6 > 4 ist das erstmal nicht Definiert.
Aber normalerweise würden beide Summen dann als leere Summe gleich 0 gesetzt.

Man braucht hier einfach eine (sinnvolle!) Definition, was in so einem Fall geschehen soll und naiv gibt es bei dem Schnitt nur zwei Möglichkeiten: die leere Menge oder die ganze Menge.
Alles dazwischen ist offensichtlich unsinnige Willkür.

Jetzt könnte man diskutieren, warum man nicht die leere Menge nimmt, vielleicht nimmt man das aber nur in einem anderen Spezialgebiet, aber eine auf Axiome basierende Lösung sehe ich da nicht.

[Lemon]

Alles klar! Dann akzeptier' ich das mal so :)

[Der-Orden-Xar]

Ich hab gerade nochmal etwas inner Uni nachgeforscht:
Nein, der Schnitt über eine leere Indexmenge ist wirklich nicht definiert, es ist wirklich nur eine Konvention, wie ich eben auch vermutet habe.

[Lemon]

Ich hab gerade nochmal etwas inner Uni nachgeforscht:
Nein, der Schnitt über eine leere Indexmenge ist wirklich nicht definiert, es ist wirklich nur eine Konvention, wie ich eben auch vermutet habe.

Danke für's nachforschen! :)

[Wanze]

Was verstehst du unter diesem Zusammenhang unter "Konvention"?

Eine Indexmenge kann entweder endlich, unendlich oder eben leer sein.

Und die Vereinigung zweier leeren Mengen ergibt nun mal nichts ;-)