[Orkjäger XD]

Hmm dann kannst du mir das vielleicht schriftlich erklären?

Ich stelle mir das so vor:
Ich rede mit C, der sagt, dass A es nicht weiß. Damit bleiben nur noch B und C übrig, was dann 50/50 wäre.

[Oswald Mandus]

Hmm dann kannst du mir das vielleicht schriftlich erklären?

Ich stelle mir das so vor:
Ich rede mit C, der sagt, dass A es nicht weiß. Damit bleiben nur noch B und C übrig, was dann 50/50 wäre.

Genau das ist ja die Denkfalle.

Du wählst Person C und weißt, dass ja eine der beiden anderen Personen auf jeden Fall falsch sein muss. Danach sagt dir Person C nur wer es ist, in deinem Fall ist das Person A. Es spielt aber keine Rolle, wer falsch ist, denn du hast deine Wahl ja bereits vor dem Hinweis getroffen. Dass eine falsch sein muss ist ja selbstverständlich, egal ob es jetzt A oder B ist. Die Chance bleibt 1/3.


Hier noch mal die Skizze. In dem Fall ist immer Person 3 richtig (R).

Spoiler:(zum lesen bitte Text markieren)

[Bild: t52aliqs.jpg]

[Orkjäger XD]

Genau das ist ja die Denkfalle.

Du wählst Person C und weißt, dass ja eine der beiden anderen Personen auf jeden Fall falsch sein muss. Danach sagt dir Person C nur wer es ist, in deinem Fall ist das Person A. Es spielt aber keine Rolle, wer falsch ist, denn du hast deine Wahl ja bereits vor dem Hinweis getroffen. Dass eine falsch sein muss ist ja selbstverständlich, egal ob es jetzt A oder B ist.


Hier noch mal die Skizze. In dem Fall ist immer Person 3 richtig (R).

Spoiler:(zum lesen bitte Text markieren)

[Bild: t52aliqs.jpg]

Ja und nachdem ich A als Hilfe ausschließen kann bleibt ja noch die Frage: Bleibe ich bei C oder gehe ich doch zu B.
Wenn ich A zusätzlich aus dem Raum schicke, nachdem ich ja weiß, dass er mir nicht helfen kann, sind nur noch B und C im Raum die mir helfen könnten.
An dem Punkt verstehe ich es nicht, warum B eine höhere Wahrscheinlichkeit haben sollte als C.
Ich habe ja nach der Antwort von C noch die Möglichkeit mich zu entscheiden und zwar genau zwischen 2 Leuten. Was soll mir der Wechsel zu B bringen?

Deine Skizze hilft mir da iwie nicht so ganz

[Oswald Mandus]

Ja und nachdem ich A als Hilfe ausschließen kann bleibt ja noch die Frage: Bleibe ich bei C oder gehe ich doch zu B.
Wenn ich A zusätzlich aus dem Raum schicke, nachdem ich ja weiß, dass er mir nicht helfen kann, sind nur noch B und C im Raum die mir helfen könnten.
An dem Punkt verstehe ich es nicht, warum B eine höhere Wahrscheinlichkeit haben sollte als C.
Ich habe ja nach der Antwort von C noch die Möglichkeit mich zu entscheiden und zwar genau zwischen 2 Leuten. Was soll mir der Wechsel zu B bringen?

Deine Skizze hilft mir da iwie nicht so ganz

Du hättest eine Chance von 50/50 wenn du B und C, nachdem A falsch ist, noch einmal mischen würdest und erneut wählst.
Du hast dich ja für C entschieden, bevor du den Hinweis bekommen hast, dass A falsch ist. Also ist die Chance 1/3, dass C richtig ist. 2/3 dass B richtig ist.

[Orkjäger XD]

Du hättest eine Chance von 50/50 wenn du B und C, nachdem A falsch ist, noch einmal mischen würdest und erneut wählst.
Du hast dich ja für C entschieden, bevor du den Hinweis bekommen hast, dass A falsch ist. Also ist die Chance 1/3, dass C richtig ist. 2/3 dass B richtig ist.

Und nach dem Hinweis hab ich 2 Möglichkeiten:
1) ich bleibe bei C
2) ich gehe zu B

Nachdem ich C gefragt habe schicke ich A aus dem Raum, er ist ja völlig uninteressant für mich. Danach habe ich 2 Leute vor mir, C und B und beide können es entweder wissen oder nicht.
Ich verstehe nicht, warum die Gewichtung der Wahrscheinlichkeiten ändern sollten

Glaub ich bin zu Blöd dafür. Ich hoffe mal dass mir das (vorrausgesetzt es stimmt ^^) jemand auf eine andere Art erklären kann ^^

[Oswald Mandus]

Das ist der Grund, weshalb sich Mathematiker nach über 40 Jahren immer noch darüber streiten.
Meine Skizze sagt eigentlich alles aus, dass man beim Wechsel eine doppelt so hohe Wahrscheinlichkeit hat.

Aber jetzt kommt der Clou. Du wählst Person C, der sagt A ist falsch, du bleibst bei C. Die Chance ist 1/3, dass du richtig liegst. Jetzt kommt ein anderer, der sich nur noch zwischen C und B entscheiden muss. Er nimmt auch C. Eigentlich müsste er ja eine Chance von 1/2 also 50/50 haben. Wieso haben zwei verschiedene Wähler unterschiedliche Chancen auf ihre Freiheit, wenn sie sich für die gleiche Person entschieden haben?

[BreaZ]

Das ist der Grund, weshalb sich Mathematiker nach über 40 Jahren immer noch darüber streiten.
Meine Skizze sagt eigentlich alles aus, dass man beim Wechsel eine doppelt so hohe Wahrscheinlichkeit hat.

und weil sie sich streiten ist deins richtig?

Aber jetzt kommt der Clou. Du wählst Person C, der sagt A ist falsch, du bleibst bei C. Die Chance ist 1/3, dass du richtig liegst. Jetzt kommt ein anderer, der sich nur noch zwischen C und B entscheiden muss. Er nimmt auch C. Eigentlich müsste er ja eine Chance von 1/2 also 50/50 haben. Wieso haben zwei verschiedene Wähler unterschiedliche Chancen auf ihre Freiheit, wenn sie sich für die gleiche Person entschieden haben?

die chancen sind nicht unterschiedlich. zuerst wählt man 1/3 dann erfährt man das die wahl unbedeutend war und erhält erneut die chance zu wählen, diesmal 1/2. 2 ereignisse, unabhängig von ein ander.
faktisch aber eh unbedeutet da es eher darauf ankommt ob der antwortende will das man gewinnt oder nicht

[Oswald Mandus]

und weil sie sich streiten ist deins richtig?

Zumindest ist meins nicht falsch. Und Experimente haben bestätigt, dass man beim Wechsel doppelt so häufig gewinnt als ohne Wechsel. In meiner Skizze sind alle Möglichkeiten bildlich dargestellt.

die chancen sind nicht unterschiedlich. zuerst wählt man 1/3 dann erfährt man das die wahl unbedeutend war und erhält erneut die chance zu wählen, diesmal 1/2. 2 ereignisse, unabhängig von ein ander.
faktisch aber eh unbedeutet da es eher darauf ankommt ob der antwortende will das man gewinnt oder nicht

Es ging ja um zwei verschiedene Wähler, die sich für die selbe Person entschieden haben. Der eine vor dem Hinweis, der andere danach. Ob und warum sich dort die Chancen unterscheiden. Bei einem Wähler bleibt die Chance immer 1/3. Daran ändert sich auch nichts nach dem Hinweis dass eine Person falsch ist. Man hat ja seine Wahl getroffen und bleibt dabei.

[jabu]

@Orkjäger XD:

Ich versuche mal, deine Perspektive auf das Problem einzunehmen, die eine eher sequenzielle ist (die Fallunterscheidung von Oswald Mandus nach Wechseln versus Nichtwechseln gefällt mir besser, aber die zu wiederholen, bringt wohl nichts), um eine alternative Erklärung anzubieten:

Der Witz besteht darin, dass auf Person C, auf der du bestehst, von vornherein nur eine Trefferwahrscheinlichkeit von 1/3 entfallen ist, woran sich nichts ändern kann, indem du Person A rausschickst.
Weil aber bekannt ist (diese Gewissheit ist neu), dass sie 0/3 Trefferwahrscheinlichkeit hat, muss die verbleibende Person B 2/3 Trefferwahrscheinlichkeit haben.

Edit: Es kommt auf der faktischen Ebene natürlich auf die Tatsache des Entfalls der Niete an, nicht auf das Wissen. Aber um deine Entscheidung zu begründen, ist dieses Wissen ausschlaggebend. Und dieses Wissen erhöht die Wahrscheinlichkeit, die bessere Variante zu wählen, was die Wahrscheinlichkeit erhöht, in Freiheit zu gelangen, s.u.

[...]
Aber jetzt kommt der Clou. Du wählst Person C, der sagt A ist falsch, du bleibst bei C. Die Chance ist 1/3, dass du richtig liegst. Jetzt kommt ein anderer, der sich nur noch zwischen C und B entscheiden muss. Er nimmt auch C. Eigentlich müsste er ja eine Chance von 1/2 also 50/50 haben. Wieso haben zwei verschiedene Wähler unterschiedliche Chancen auf ihre Freiheit, wenn sie sich für die gleiche Person entschieden haben?

Der Witz ist hier, dass die Wahrscheinlichkeitswerte für C und B zwar nicht davon abhängen, wer (formal gesehen) sich entscheiden muss, aber der hinzugekommenen Person fehlt das Wissen, dass du von Anfang an auf C gesetzt hast (was eben nur 1/3 Chance hat) und dass A als definitive Niete herausgestrichen wurde.
Mit deinem Wissen, welche Person du von Anfang an gewählt hattest, könnte er deine potentielle Chance von 2/3 ergreifen. Ohne dieses Wissen hat er tatsächlich nur eine Chance von 1/2. Oder er kennt die Spielregeln und unterstellt dir, die beste Entscheidung zu treffen, dann hat er also Pech und landet bei 1/3, weil du nicht gewechselt hast.

Wie gut er bei dir dran ist, hängt jetzt davon ab, wie clever du dich anstellst, weshalb sich das nicht pauschal beantworten lässt.
Es ist jetzt sehr schwierig zu beurteilen, wie groß der Anteil der Menschen ist, welche die bessere Entscheidung treffen, um sich zu entscheiden, also, ob es besser wäre, deine Entscheidung zum Vorbild zu nehmen, sich andersherum zu entscheiden oder sie zu ignorieren.
Wenn man ein Fünkchen Weisheit unterstellt, dann könnte man davon ausgehen, dass einleuchten sollte, dass es nicht falsch sein kann, den Wechsel vorzunehmen, weshalb man im Zweifel wechseln sollte. Man könnte also vermuten, dass sich aus einer Mischung dieser einfachen Erkenntnis sowie den wenigen Fällen, wo das wirklich durchdrungen wurde, mehr Leute richtig als falsch liegen sollten, weshalb man seinem Vorbild folgen sollte.
Aber was weiß ich schon darüber, wie Menschen aus unterschiedlichsten Motiven ticken, z.B. aus Trägheit oder aus einem subtilen Gefühl des Misstrauens, welches sie auf eine falsche Fährte lockt (wie bei dem Moderator einer Quiz-Show)?

Nachdem sie sich gleich entschieden haben, haben sie natürlich jeweils die gleiche Chance auf Freiheit (aber die Wahrscheinlichkeit, sich entweder für C oder für B zu entscheiden, ist unterschiedlich, weshalb sie unterschiedliche Chancen haben). Deswegen würde ich deinen letzten Satz noch mal umformulieren. Es stimmt natürlich, was du vermutlich gemeint hast, dass die Chancen auf Freiheit unterschiedlich sind, obwohl die Aufgabenstellung vermeintlich gleich ist.

Edit: Gesellschaftskritik entfernt, könnte auf Abwege führen (muss bei dem Thema "Chancen" automatisch an den Irrwitz der neoliberalen Doktrin denken, und ja, es passt sogar in diesem Kontext).

Bekomme ich einen Keks?

[Oswald Mandus]

Der Keks befindet sich in einer von drei Dosen.

Also soviel ist sicher: Egal für welche Person man sich entscheidet man hat immer die Chance von 1/3. Nachdem eine falsche Person aus dem Raum geschickt wird, hat man ja immer noch die gleiche Chance von vorhin (wenn man nicht wechselt), dass die gewählte Person die richtige ist. Wechselt man jedoch, ist die Chance zwangsläufig 2/3, was meine Skizze und die Experimente ja auch beweisen.

Jetzt kommt aber noch ein anderer, der den Weg in die Freiheit sucht hinzu, der weder weiß, dass du dich vorher für Person C entschieden hast als auch dass Person A aus dem Raum geschickt wurde. Er sieht nur Personen C und B und weiß dass nur eine von ihnen den Weg kennt. Er wählt durch Zufall wie du ebenfalls C. Während für dich die Chance ja noch 1/3 ist, hat der neue Wähler die Chance von 1/2. Aber bei der gleichen ausgesuchten Person wie kann da die Chance variieren?

[jabu]

Argh, Antworten haben sich leider überschnitten, siehe Edit oben.

Kurzfassung davon (und mehr auf den Punkt):

Person 1 würfelt nicht. Sie hat entweder von Anfang an 1/3 Chance (nicht wechseln) oder nach einer weisen Entscheidung 2/3 Chance (wechseln).

Person 2 würfelt (sie ist mangels Vorwissen unbeeinflusst).

Das sind also zwei ganz unterschiedliche Fälle mit unterschiedlichen Voraussetzungen.

Aber man könnte Person 1 zum Würfeln überreden, sodass sich die Frage nach Wechseln oder Nichtwechseln nicht mehr stellt bzw. ein Kategoriefehler wäre. Dann beträgt die Chance natürlich ebenfalls 1/2.
Im Grunde kann aber bereits die Annahme, dass sie nicht wechseln würde, auf einem Kategoriefehler beruhen, denn dieses belegt, dass sie keine Ahnung hat, weshalb man das auch dem Würfeln zurechnen könnte, sodass sie ebenso, eher zufällig, gewechselt haben könnte, was irrwitzigerweise ihre Chancen in Richtung 1/2 verschiebt.
Sich Nichtwissen einzugestehen, ist also manchmal besser als auf falschem bzw. nur vermeintlichem Wissen zu beharren.

Person 1, die nicht wechselt, hätte also besser einen Affen rangelassen...

Edit: Vielleicht habe ich, obwohl bereits durch meine Antwort an Orkjäger (s.o) impliziert, den Unterschied nicht klar genug herausgearbeitet, indem Nichtwechseln nicht bedeutet, dass man sich auf eine bestimmte Person festlegen würde, sondern eben nur, dass man nicht wechselt, was eine ganz andere Aufgabenstellung (vgl. "Kategoriefehler", s,o,) ist. Wenn man das berücksichtigt, sieht man sofort, dass beide beim Würfeln dieselbe Chance von 1/2 haben, weil das der Zusammensetzung der verbleibenden(!) Menge entspricht.
Es wäre aber falsch, daraus zu schließen, dass ein bestimmtes Element dieser Menge "Wechseln" oder "Nichtwechseln" entspräche. Unter anderem auf dieser Fehlannahme beruht das Paradoxon.
Wechseln oder nicht wechseln ergeben sich nicht, sondern es handelt sich um Voraussetzungen, was du mit deiner Skizze schön herausgearbeitet hast, woran man erkennt, dass du das Problem verstanden hast.
Das sind also zwei verschiedene Fälle, ebenso wie das Würfeln, was ein dritter Fall wäre.
1/3, 2/3 sowie 1/2 ergeben sich also je nach Voraussetzung, je nachdem, wofür man sich entschieden hat, nicht zu wechseln, zu wechseln oder zu würfeln. Durchschnitt ist wieder 1/2, was einiges an Missverständnissen hervorgerufen haben könnte, denn es müsste schon genau formuliert und gelesen werden, welche Wahrscheinlichkeit überhaupt gemeint ist, die über alles, was 1/2 wäre, oder die mit Festlegung auf eine der Voraussetzungen, was bei kluger Entscheidung eben 2/3 wäre.

Edit #2: Man kann auf drei sortierte Fälle reduzieren:

Auswahl | Rest    + Rest    | Wechsel
-------------------------------------
Treffer | Niete   + Niete   | 0/3
Niete   | Treffer + Niete   | 1/3
Niete   | Niete   + Treffer | 1/3
-------------------------------------
1/3                           2/3

Bemerkenswert simpel ist nun das Paradoxon aufgelöst, es handelte sich vermeintlich um Auswahlen aus 2, denn in Wahrheit fällt bloß jeweils ein Ereignis hinten heraus (man könnte das auch als Baum zeichnen, aus dem man einfach jeweils eine Niete herausstreicht). Die Auswahl erfolgt trotzdem aus 3, wobei "wechseln" oder "nicht wechseln" auf eine falsche Fährte lockt.

[Chris Sabion]

Viel quälender wird später für Dich die Frage sein ob Du sie auch umgestoßen hättest wenn ich nichts gesagt hätte...