Matheaufgabe, Grenzwert

[Mofdes]

Ich habe hier eine Matheaufgabe, die ich momentan nicht herausbekomme.

Zu folgender Funktion soll der Grenzwert für x-->0 (von positiven x-werten herkommend) bestimmt werden:

((1/x)+a)^(1/2) - (1/x)^(1/2)

Logisch ist, dass der Grenzwert eigentlich 0 ist, da (1/x)>>a für sehr kleine x.
Jedoch darf ich das a nicht einfach streichen um mathematisch korrekt zu bleiben.

Für einen schönen und nachvollziehbaren Rechenweg wäre ich sehr dankbar.

[Larnak]

Wieso darfst du das nicht einfach streichen?

lim(x->0) von (1/x) = ∞
sqrt(∞ +a) und sqrt(∞) sind immer noch ∞ und
∞-∞= 0.

Mehr würde ich dazu jedenfalls nicht schreiben bzw. rechnen

edit:
"∞" eingefügt...

[Mofdes]

Ja aber genau so sollen wir es nicht machen.
Anscheinend gibt es noch eine andere Lösung. D.h. man muss den Term recht umständlich umformen.
Leider weiß ich nicht genau wie.

[Satans Krümelmonster]

lim(sqrt(1/x+a)-sqrt(1/x), x->∞)=sqrt(a)

weil:

lim(1/x, x->∞)=0

sqrtt man das in die formel ein, erhält man

lim(sqrt(1/x+a)-sqrt(1/x), x->∞)=sqrt(0+a)-sqrt(0)=sqrt(a)

[Larnak]

Es geht ja aber leider nicht um x->∞, sondern um x->0. Steht oben jedenfalls

So wärs ja leicht

[Satans Krümelmonster]

Zitat von Larnak Es geht ja aber leider nicht um x->∞, sondern um x->0. Steht oben jedenfalls So wärs ja leicht

oh, sorry

dann hast du natürlich recht ^^

[walljumper]

Wieso darfst du das nicht einfach streichen? lim(x->0) von (1/x) = ∞ sqrt(∞ +a) und sqrt(∞) sind immer noch ∞ und ∞-∞= 0. Mehr würde ich dazu jedenfalls nicht schreiben bzw. rechnen edit: "∞" eingefügt...

Nein, so geht es nicht, unendlich - unendlich ist nicht definiert.

[Larnak]

Na dann sag doch, wies richtig geht

[ojas]

Zitat von Mofdes Logisch ist, dass der Grenzwert eigentlich 0 ist, ...

Wenn du den Grenzwert schon vermutest und es nur noch beweisen musst, dann lohnt sich immer ein Blick auf das ε-δ-Kriterium:

   limx→x0 f(x) = m
⇔
   ∀ ε > 0  ∃ δ > 0 ∀ z ∈ ℝ : |z-x0| < δ ⇒ |f(z) - m| < ε

In deinem konkreten Fall ist

• x0 = 0
• m = 0;
• f : x → sqrt(1/x+a) - sqrt(1/x)

Außerdem bist du ja nur an dem rechtsseitigen Limes interessiert, du brauchst also nur die z betrachten, die größer als x0 sind. Es genügt also zu zeigen, daß

∀ ε > 0  ∃ δ > 0 ∀ z > 0 : z < δ ⇒ |sqrt(1/z+a) - sqrt(1/z)| < ε

Das machst du indem du die Ungleichung |sqrt(1/z+a) - sqrt(1/z)| < ε nach z auflöst. Du solltest dann eine Ungleichung der Form

z < g(ε,a)

bekommen. g(ε,a) kannst du dann als das gesuchte δ nehmen (solange es natürlich die Bedingung δ > 0 erfüllt).

[Mofdes]

Zitat von ojas Wenn du den Grenzwert schon vermutest und es nur noch beweisen musst, dann lohnt sich immer ein Blick auf das ε-δ-Kriterium: limx→x0 f(x) = m ⇔ ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ z ∈ ℝ : |z-x0| < δ ⇒ |f(z) - m| < ε In deinem konkreten Fall ist x0 = 0 m = 0; f : x → sqrt(1/x+a) - sqrt(1/x) Außerdem bist du ja nur an dem rechtsseitigen Limes interessiert, du brauchst also nur die z betrachten, die größer als x0 sind. Es genügt also zu zeigen, daß ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ z > 0 : z < δ ⇒ |sqrt(1/z+a) - sqrt(1/z)| < ε Das machst du indem du die Ungleichung |sqrt(1/z+a) - sqrt(1/z)| < ε nach z auflöst. Du solltest dann eine Ungleichung der Form z < g(ε,a) bekommen. g(ε,a) kannst du dann als das gesuchte δ nehmen (solange es natürlich die Bedingung δ > 0 erfüllt).

Vielen Dank für die Bemühungen. Das ist sicher richtig, wenn es schon so kompliziert aussieht . Leider verstehe ich die ganzen Zeichen nicht, sorry
Eigentlich sollte aber sinnvolles Umformen und Erweitern des ursprünglichen Ausdrucks zu einem einfach abzulesenden Grenzwert führen.

Als Tipp stand bei der Aufgabe noch folgendes: Erweitern (natürlich im Zähler und Nenner) mit dem ursprünglichen Ausdruck, also ((1/x)+a)^(1/2) - (1/x)^(1/2), wäre hilfreich.

Tut mir leid, dass die Aufgabe so verwirrend ist. Ich hoffe, dass sie wenigstens lösbar ist (müsste sie aber eigentlich sicher sein).

[Larnak]

Mh, guter Tipp

((1/x)+a)^(1/2) - (1/x)^(1/2) erweitert mit ((1/x)+a)^(1/2) + (1/x)^(1/2)

Dann haben wir oben im Zähler eine binomische Formel die sich auflöst zu:
(((1/x)+a)^(1/2))^2 - ((1/x)^(1/2)^2)
(Ich hoffe, ich komme hier mit den ganzen Klammern nicht durcheinander. Am besten aufm Zettel nachrechnen...)
Da habe ich dann jeweils die Wurzel zum Quadrat, die Wurzel fällt also weg.

Bleibt:
(1/x)+a-(1/x)

Im Zähler steht also nur "a".

Im Nenner steht ganz normal
((1/x)+a)^(1/2) + (1/x)^(1/2)

Ich habe also
a/(((1/x)+a)^(1/2) + (1/x)^(1/2))

Davon kann man jetzt den Grenzwert lim x-> 0 bilden.
Wie wir schon wissen, kommt läuft 1/x dabei gegen ∞.
Schreiben wir das erstmal hin:
a/((∞+a)^(1/2) + ∞^(1/2))

Zieht man die Wurzel, bleib: (∞+a)^(1/2)= ∞ und ∞^(1/2)=∞.
So, und weil wir so unglaublich toll gerechnet haben, haben wir jetzt kein "∞-∞" mehr, was ja nicht definiert ist, sondern haben wir jetzt den Term:
a/(∞+∞)
Und wenn ich ein beliebiges a durch etwas Teile, was gegen unendlich geht, dann bleibt dabei Null über...

Ich hoffe, ich bin jetzt nicht irgendwo mit Klammern und Wurzeln durcheinandergekommen...
Ist das besser?

[Mofdes]

Oh Danke. So hatte ich es auch (Hab einmal mit plus und einmal mit minus erweitert, aber mit plus ist es ja die "geschicktere" binomische Formel)
Ich wusste dann nur nicht ob ich mit a/∞ dann fertig bin.

Aber wenn du das auch als fertig ansiehst, dann bin ich zufrieden.

Tausend Dank!

[Larnak]

Naja, ich wäre mit der Lösung ganz oben auch schon zufrieden gewesen, von daher

Wofür sollst du die Aufgabe denn lösen?

Du kannst ja mal berichten, ob die betreffende Person damit auch zufrieden war...

[Mofdes]

Ich belege gerade einen Mathekurs.

Am Freitag wird die Aufgabe durchgesprochen. Dann kann ich sagen wie die optimale Lösung aussieht.

[walljumper]

in der langeweile eines physik-tutoriums hab ich mir gerade folgendes überlegt (mathematisch vllt am einfachsten):

wurzel mal als sqrt() weil ()^(1/2) zu lang is

sqrt(1/x + a) - 1/sqrt(x) auf hauptnenner (sqrt(x)) bringen und x unter die wurzel ziehn

(sqrt(1+ax) - 1)/sqrt(x) mit 3. binomischer erweitern (also mit sqrt(1+ax) + 1)

(1 + ax - 1) / (sqrt(x) * (sqrt(1 + ax) + 1)) die 1en im zähler sind weg, sqrt(x) kürzen

a*sqrt(x) / ( sqrt(1 + ax) + 1)

nu sieht man ziemlich leicht: zähler gegen null, nenner gegen 2 ==> grenzwert is null

[Mofdes]

Zitat von walljumper in der langeweile eines physik-tutoriums hab ich mir gerade folgendes überlegt (mathematisch vllt am einfachsten): wurzel mal als sqrt() weil ()^(1/2) zu lang is sqrt(1/x + a) - 1/sqrt(x) auf hauptnenner (sqrt(x)) bringen und x unter die wurzel ziehn (sqrt(1+ax) - 1)/sqrt(x) mit 3. binomischer erweitern (also mit sqrt(1+ax) + 1) (1 + ax - 1) / (sqrt(x) * (sqrt(1 + ax) + 1)) die 1en im zähler sind weg, sqrt(x) kürzen a*sqrt(x) / ( sqrt(1 + ax) + 1) nu sieht man ziemlich leicht: zähler gegen null, nenner gegen 2 ==> grenzwert is null

Vielen Dank für diese Lösung.
Ich finde sie noch geeigneter, weil nun bei konstantem Nenner der Zähler gegen Null geht und nicht der Nenner gegen Unendlich.
Aber ich denke das ist Geschmackssache.

Vielen Dank nochmals für die Hilfe (aller).


Edit: Beide Lösungen waren richtig!